Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ACE=

1

2

∠BAC，CE交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．若BC=2，則EF的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,三角形內(nèi)角和定理,等腰三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形,平行線分線段成比例

專題：幾何圖形問(wèn)題,壓軸題

分析：過(guò)F點(diǎn)作FG∥BC．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得AF=CF，在Rt△CDF中，根據(jù)三角函數(shù)可得AF=CF=2，DF=

3

，根據(jù)平行線分線段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4-2

3

，再根據(jù)平行線分線段成比例可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF=

3

-1．

解答：解：過(guò)F點(diǎn)作FG∥BC．
∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD=

1

2

BC=1，∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=15°，AD⊥BC，
∵∠ACE=

1

2

∠BAC，
∴∠CAD=∠ACE=15°，
∴AF=CF，
∵∠ACD=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠DCE=75°-15°=60°，
在Rt△CDF中，AF=CF=

DC

cos60°

=2，DF=CD•tan60°=

3

，
∵FG∥BC，
∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+

3

），
解得GF=4-2

3

，
∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4-2

3

）：2，
解得EF=

3

-1．
故答案為：

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得，三角函數(shù)，平行線分線段成比例，以及方程思想，本題的難點(diǎn)是作出輔助線，尋找解題的途徑．