Question

如圖，AB∥CD，P為定點，E、F分別是AB、CD上的動點．

（1）求證：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）若M為CD上一點，如圖2，∠FMN=∠BEP，且MN交PF于N．試說明∠EPF與∠PNM關系，并證明你的結(jié)論；
（3）移動E、F使得∠EPF=90°，如圖3，作∠PEG=∠BEP，求∠AEG與∠PFD度數(shù)的比值．

Answer 1

考點：平行線的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題,證明題

分析：（1）如圖1，過點P作PG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)進行證明；
（2）利用（1）中的結(jié)果和三角形外角定理可以推知∠EPF=∠PNM；
（3）利用（1）中的結(jié)論得到∠1+∠2=90°，結(jié)合已知條件∠PEG=∠BEP，即∠1=∠3得到∠4=180°-2∠1，易求∠AEG與∠PFD度數(shù)的比值．

解答：（1）證明：如圖1，過點P作PG∥AB．則∠1=∠BEP．
又∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠2=∠PFD，
∴∠EPF=∠1+∠2=∠BEP+∠PFD，即∠EPF=∠BEP+∠PFD；

（2）∠EPF=∠PNM．理由如下：
由（1）知，∠EPF=∠BEP+∠PFD．
如圖2，∵∠FMN=∠BEP，
∴∠EPF=∠FMN+∠PFD．
又∵∠PNM=∠FMN+∠PFD．
∴∠EPF=∠PNM；

（3）如圖，∵由（1）知∠1+∠2=90°．
∴∠1=90°-∠2．
又∵∠1=∠3，
∴∠4=180°-2∠1=2∠2，
∴∠4：∠2=2：1．即∠AEG與∠PFD度數(shù)的比值為2：1．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)．解答（2）、（3）題時，可以直接利用（1）的結(jié)論．