Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C、P是

AB

上兩點(diǎn)，AB=10，AC=6，若點(diǎn)P是

BC

的中點(diǎn)，求PA的長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：作PD⊥AB于D，連結(jié)OP、BC，它們相交于E點(diǎn)，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=8；由于點(diǎn)P是

BC

的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論得OP⊥BC，BE=CE=4，易得OE為△ABC的中位線，則OE=

1

2

AC=3，然后證明△OPD≌△OBE得到PD=BE=4，OD=OE=3，則AD=AO+OD=8，再根據(jù)勾股定理計(jì)算AP的長．

解答：解：作PD⊥AB于D，連結(jié)OP、BC，它們相交于E點(diǎn)，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，AC=6，
∴BC=

AB2-AC2

=8，
∵點(diǎn)P是

BC

的中點(diǎn)，
∴OP⊥BC，BE=CE=4，
而OA=OB，
∴OE為△ABC的中位線，
∴OE=

1

2

AC=3，
在△OPD和△OBE中，

∠PDO=∠BEO ∠POD=∠BOE OP=OB

，
∴△OPD≌△OBE，
∴PD=BE=4，OD=OE=3，
∴AD=AO+OD=8，
在Rt△APD中，AP=

PD2+AD2

=

42+82

=4

5

．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．