Question

【題目】對于某一函數(shù)給出如下定義：對于任意實(shí)數(shù)m， 當(dāng)自變量x≥m時(shí)，函數(shù)y關(guān)于x的函數(shù)圖象為，將G沿直線x=m翻折后得到的函數(shù)圖象為，函數(shù)G的圖象由和兩部分共同組成，則函數(shù)G為原函數(shù)的“對折函數(shù)”，如函數(shù)y=x（x≥2）的對折函數(shù)為

（1）寫出函數(shù)y =2x+1（x≥ 1）的對折函數(shù)；

（2）若函數(shù)y =2x2（x≥）的對折函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC的周長；

（3）若點(diǎn)P(m，5)在函數(shù)y =4( x≥1)的對折函數(shù)的圖象上，求m的值；

（4）當(dāng)函數(shù)y=4(x≥n)的對折函數(shù)與x軸有不同的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，直接寫出n的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）m=4或6；（4）①當(dāng)n<1時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)n=1時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)1<n<3時(shí)，函數(shù)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；④當(dāng)n=3時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)；⑤當(dāng)n>3時(shí)，無交點(diǎn)

【解析】

(1)利用對折函數(shù)的定義求解對折后的函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求解對折函數(shù)的解析式，得到C的坐標(biāo)，利用勾股定理可得答案；

(3)先求解對折函數(shù)的解析式，把P的坐標(biāo)代入即可得到答案；

(4)根據(jù)拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)分情況討論，即可得到對折函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可得答案．

(1)如圖1，設(shè)對折點(diǎn)為A，則點(diǎn)A(1，3)，設(shè)對折圖象與x軸的交點(diǎn)為A． B，

當(dāng)y =2x+1=0時(shí)，x=時(shí)，即點(diǎn)B(，0)，則點(diǎn)C(，0)，

設(shè)直線AC為：

解得：

所以：直線AC的表達(dá)式為：y=2x+5，

故y=2x+1(x1)的對折函數(shù)為：

(2)由對折函數(shù)的定義得拐點(diǎn)坐標(biāo)為： ，，

同理可得：函數(shù)y=2x2()的對折函數(shù)

點(diǎn)C(0，2)，

則AB=5，AC=，BC=，

則△ABC的周長為：

(3)令y=4=0，則x=1或3，如下圖：即點(diǎn)A． B的坐標(biāo)為(1，0)、(3，0)，

則對折后函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，4)，該函數(shù)表達(dá)式為：y=4，

即對折函數(shù)為

將點(diǎn)P(m，5)代入y=4得：

解得：（舍去）

將點(diǎn)P(m，5)代入y=4，

解得：（舍去）

綜上：m=4或6

(4)①當(dāng)n<1時(shí)，如圖3:

此時(shí)x=n在點(diǎn)A(1，0)的左側(cè)，

從圖中可以看出：函數(shù)與x軸有4個(gè)交點(diǎn)(A、B． C． D)；

②當(dāng)n=1時(shí)，x=n過點(diǎn)A，從圖2可以看出：函數(shù)與x軸有3個(gè)交點(diǎn)；

③如圖：同理：當(dāng)1<n<3時(shí)，函數(shù)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；

④如圖：同理：當(dāng)n=3時(shí)，函數(shù)與x軸有3個(gè)交點(diǎn)；

⑤同理：當(dāng)n>3時(shí)，無交點(diǎn)