【題目】等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=4,AE=2,其中△ABC固定,△ADE繞點A作360°旋轉(zhuǎn),點F、M、N分別為線段BE、BC、CD的中點,連接MN、NF.
問題提出:(1)如圖1,當(dāng)AD在線段AC上時,則∠MNF的度數(shù)為 ,線段MN和線段NF的數(shù)量關(guān)系為 ;
深入討論:(2)如圖2,當(dāng)AD不在線段AC上時,請求出∠MNF的度數(shù)及線段MN和線段NF的數(shù)量關(guān)系;
拓展延伸:(3)如圖3,△ADE持續(xù)旋轉(zhuǎn)過程中,若CE與BD交點為P,則△BCP面積的最小值為 .
【答案】(1)45°,NF=MN;(2)∠MNF=45°,NF=MN;(3)4
【解析】
(1)如圖1,連接DB,MF,CE,延長BD交EC于H.證明△BAD≌△CAE(SAS),推出BD=EC,∠ACE=∠ABD,再根據(jù)三角形中位線定理即可解決問題.
(2)如圖2,連接MF,EC,BD.設(shè)EC交AB于O,BD交EC于H.證明△BAD≌△CAE(SAS),推出BD=EC,∠ACE=∠ABD,再利用三角形中位線定理即可解決問題.
(3)如圖3中,如圖3中,如圖以A為圓心AD為半徑作⊙A.當(dāng)直線PB與⊙A相切時,△BCP的面積最。
解:(1)如圖1中,連接DB,MF,CE,延長BD交EC于H.
∵AC=AB,AE=AD,∠BAD=∠CAE=90°,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,∠ACE=∠ABD,
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ADB=∠CDH,
∴∠CDH+∠DCH=90°,
∴∠CHD=90°,
∴EC⊥BH,
∵BM=MC,BF=FE,
∴MF∥EC,MF=EC,
∵CM=MB,CN=ND,
∴MN∥BD,MN=BD,
∴MN=MF,MN⊥MF,
∴∠NMF=90°,
∴∠MNF=45°,NF=MN.
故答案為:45°;NF=MN.
(2):如圖2中,連接MF,EC,BD.設(shè)EC交AB于O,BD交EC于H.
∵AC=AB,AE=AD,∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,∠ACE=∠ABD,
∵∠AOC+∠ACO=90°,∠AOC=∠BOH,
∴∠OBH+∠BOH=90°,
∴∠BHO=90°,
∴EC⊥BD,
∵BM=MC,BF=FE,
∴MF∥EC,MF=EC,
∵CM=MB,CN=ND,
∴MN∥BD,MN=BD,
∴MN=MF,MN⊥MF,
∴∠NMF=90°,
∴∠MNF=45°,NF=MN.
(3):如圖3中,如圖以A為圓心AD為半徑作⊙A.
當(dāng)直線PB與⊙A相切時,此時∠CBP的值最小,點P到BC的距離最小,即△BCP的面積最小,
∵AD=AE,AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠ABD,BD=EC,
∵∠ABD+∠AOB=90°,∠AOB=∠CPO,
∴∠CPB=90°,
∵PB是⊙A的切線,
∴∠ADP=90°,
∵∠DPE=∠ADP=∠DAE=90°,
∴四邊形ADPE是矩形,
∵AE=AD,
∴四邊形ADPE是正方形,
∴AD=AE=PD=PE=2,BD=EC==2,
∴PC=2﹣2,PB=2+2,
∴S△BCP的最小值=×PC×PB=(2﹣2)(2+2)=4.
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【題目】隨著生活水平的提高,人們越來越注重營養(yǎng)健康,有一種有機水果在市場上特別受歡迎,某大型超市以10元/千克的價格在產(chǎn)地收購了6000千克水果,立即將其冷藏,請根據(jù)下列信息解決問題:
①水果的市場價每天每千克上漲0.1元;
②平均每天有10千克的該水果損壞,不能出售;
③每天的冷藏費用為300元;
④該水果最多保存110天;
(1)若將這批水果存放天后一次性出售,則天后這批水果的銷售單價為 元;
(2)將這批水果存放多少天后一次性出售所得利潤為9600元?
(3)將這批水果存放多少天后一次性出售可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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【題目】(問題提出)我們知道:同弧或等弧所對的圓周角都相等,且等于這條弧所對的圓心角的一半.那么,在一個圓內(nèi)同一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系?
(初步思考)(1)如圖,是的弦,,點、分別是優(yōu)弧和劣弧上的點,則______°._______°.
(2)如圖,是的弦,圓心角,點P是上不與A、B重合的一點,求弦所對的圓周角的度數(shù)(用m的代數(shù)式表示).
(問題解決)(3)如圖,已知線段,點C在所在直線的上方,且.用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點C所組成的圖形(不寫作法,保留作圖痕跡).
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【題目】為了扎實推進(jìn)精準(zhǔn)扶貧工作,某地出臺了民生兜底、醫(yī)保脫貧、教育救助、產(chǎn)業(yè)扶持、養(yǎng)老托管和易地搬遷這六種幫扶措施,每戶貧困戶都享受了2到5種幫扶措施,現(xiàn)把享受了2種、3種、4種和5種幫扶措施的貧困戶分別稱為A、B、C、D類貧困戶.為檢査幫扶措施是否落實,隨機抽取了若干貧困戶進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)將收集的數(shù)據(jù)繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
請根據(jù)圖中信息回答下面的問題:
(1)本次抽樣調(diào)查了多少戶貧困戶?
(2)抽查了多少戶C類貧困戶?并補全統(tǒng)計圖;
(3)若該地共有13000戶貧困戶,請估計至少得到4項幫扶措施的大約有多少戶?
(4)為更好地做好精準(zhǔn)扶貧工作,現(xiàn)準(zhǔn)備從D類貧困戶中的甲、乙、丙、丁四戶中隨機選取兩戶進(jìn)行重點幫扶,請用樹狀圖或列表法求出恰好選中甲和丁的概率.
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【題目】已知△OBF 是直角三角形,∠BFO=90°,∠BOF=30°,△AOB 是等邊三角形,OB=4,點 A 與點 F 位于直線 OB 的異側(cè).
(Ⅰ)如圖①,求 BF 及 OF 的長;
(Ⅱ)點 P 是直線OF 上的一個動點,連接 AP,以點 A 為旋轉(zhuǎn)中心,把△AOP 逆時針旋轉(zhuǎn),使邊 AO 與 AB 重合,得△ABD.
①如圖②,求在點 P 運動過程中,使點 D 落在線段 OF 上時 OP 的長;
②求在點 P 運動過程中,使點 P 落在線段 OF 上,且△OPD 的面積等于時 OP 的長(直接寫出結(jié)果即可).
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【題目】如圖,AB是長為10m,傾斜角為30°的自動扶梯,平臺BD與大樓CE垂直,且與扶梯AB的長度相等,在B處測得大樓頂部C的仰角為65°,求大樓CE的高度(結(jié)果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin65°=0.90,tan65°=2.14)
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【題目】如圖,直線y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象分別交于點A(﹣1,2),點B(﹣4,n),與x軸,y軸分別交于點C,D.
(1)求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積.
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【題目】二次函數(shù)y=x2的圖象如圖,點A0位于坐標(biāo)原點,點A1,A2,A3…An在y軸的正半軸上,點B1,B2,B3…Bn在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上,點C1,C2,C3…n在二次函數(shù)位于第二象限的圖象上,四邊形A0B1A1C1,四邊形A1B2A2C2,四邊形A2B3A3C3…四邊形An﹣1BnAnn都是正方形,則正方形An﹣1BnAnn的周長為_____.
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