Question

16．如圖，已知四邊形ABCD中，點E是CD上的點（不與CD的中點重合），DE=AB，∠BAC=∠D，AD=AC．
（1）求證：四邊形AECB是等腰梯形；
（2）點F是AB延長線上一點，且BC=CF，聯(lián)結(jié)CF、EF，若AC⊥EF，求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由AD=AC，證得∠D=∠ACD，由∠BAC=∠D，推出∠ACD=∠BAC，由平行線的判定推出AB∥DE，根據(jù)三角形的判定證得△ADE≌△CAB，即可證得AE=BC，由等腰梯形的判定即可證得結(jié)論；
（2）通過全等三角形的性質(zhì)得到AF=CE，推出四邊形AECF是平行四邊形，然后由菱形的判定定理即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AD=AC，
∴∠D=∠ACD，
∵∠BAC=∠D，
∴∠ACD=BAC，
∴AB∥DE，
在△ADE和△CAB中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=AB}\\{∠D=∠BAC}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CAB，
∴AE=BC，
∴四邊形AECB是等腰梯形；

（2）由（1）得AE=BC，∠AEC=∠BCE，AB∥EC，
∴∠FAC=∠ACE，
∵BC=CF，
∴AE=CF，∠FBC=∠BFC，
∴∠BFC=∠AEC，
在△AEC和△CFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠AFC}\\{∠ACE=∠FAC}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AFC，
∴AF=CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴?AECF是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．