Question

【題目】如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)就為“奇巧數(shù)，如，因此這三個(gè)數(shù)都是奇巧數(shù)。

都是奇巧數(shù)嗎？為什么？

設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為（其中為正整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的奇巧數(shù)是的倍數(shù)嗎？為什么？

研究發(fā)現(xiàn)：任意兩個(gè)連續(xù)“奇巧數(shù)”之差是同一個(gè)數(shù)，請(qǐng)給出驗(yàn)證。

Answer 1

【答案】（1）52是奇巧數(shù)，72不是奇巧數(shù)；（2）不是8的倍數(shù)，理由見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）判斷52與72是否能寫成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差即可；

（2）先計(jì)算2n+2與2n的平方差，再進(jìn)行判斷即可；

（3）取四個(gè)連續(xù)的偶數(shù)2n，2n+2，2n+4，2n+6（n為正整數(shù)），可得三個(gè)連續(xù)的奇巧數(shù)，再作差比較即得結(jié)果.

解：（1），，因?yàn)?/span>52是兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，所以52是奇巧數(shù)，而72是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，不是兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，所以72不是奇巧數(shù)；

（2）由2n，2n+2構(gòu)造的奇巧數(shù)不是8的倍數(shù)，理由如下：

，

因?yàn)?/span>n為正整數(shù)，所以2n+1是奇數(shù)，所以奇巧數(shù)4(2n+1)是4的倍數(shù)，不是8的倍數(shù)；

（3）驗(yàn)證：12,20與20,28都是連續(xù)的奇巧數(shù)，它們的差都是8，是同一個(gè)數(shù).

一般的，設(shè)四個(gè)連續(xù)的偶數(shù)為：2n，2n+2，2n+4，2n+6（n為正整數(shù)），則

，

，

，

所以8n+4，8n+12，8n+20是三個(gè)連續(xù)的奇巧數(shù)，

且，，

所以任意兩個(gè)連續(xù)“奇巧數(shù)”之差是同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是8.