Question

如圖，以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，交矩形的對(duì)角線BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC邊的中點(diǎn)，連接EF．
（1）試判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若DC=2，EF=

3

，P是⊙O上除E、C兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，則∠EPC的度數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）直線EF與⊙O相切．理由如下：如圖，連接OE、OF．通過(guò)△EFO≌△CFO（SAS），證得∠FEO=∠FCO=90°，則直線EF與⊙O相切．
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EPC+∠D=180°，利用（1）中的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等求得FC=EF=

3

，所以通過(guò)解直角△BCD來(lái)求∠D的度數(shù)即可．

解答：解：（1）直線EF與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OE、OF．
∵OD=OE，
∴∠1=∠D．
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是DC的中點(diǎn)，
∴OF∥BD，
∴∠3=∠D，∠2=∠1，
∴∠2=∠3．
∴在△EFO與△CFO中，

OE=OC ∠2=∠3 OF=OF

，
∴△EFO≌△CFO（SAS），
∴∠FEO=∠FCO=90°，
∴直線EF與⊙O相切．

（2）如圖，連接DF．
∵由（1）知，△EFO≌△CFO，
∴FC=EF=

3

．
∴BC=2

3

在直角△FDC中，tan∠D=

BC

DC

=

3

，
∴∠D=60°．
∵點(diǎn)E、P、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠EPC+∠D=180°，
∴∠EPC=120°．
故填：120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．