Question

如圖，BC是半⊙O的直徑，點P是半圓弧的中點，點A是弧BP的中點，AD⊥BC于D，連結(jié)AB、PB、AC，BP分別與AD、AC相交于點E、F.

（1）BE與EF相等嗎？并說明理由；

（2）小李通過操作發(fā)現(xiàn)CF=2AB，請問小李的發(fā)現(xiàn)是否正確，若正確，請說明理由；若不正確，請寫出CF與AB正確的關(guān)系式.

（3）求的值.

 

 

Answer 1

（1）相等，理由見解析；（2）正確；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案；

（3）求出，求出AH、CP的長，代入即可求出答案．

試題解析：（1）BE=EF，

理由是：∵BC是直徑，AD⊥BC，

∴∠BAC=∠ADC=90°，

∴∠BAD=∠ACB，

∵A為弧BP中點，

∴∠ABP=∠ACB，

∴∠BAD=∠ABP，

∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，

∴EF=AE，

∴BE=EF；

（2）小李的發(fā)現(xiàn)是正確的，

理由是：延長BA、CP，兩線交于G，

∵P為半圓弧的中點，A是弧BP的中點，

∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，

在△PCF和△PBG中，

∴△PCF≌△PBG（ASA），

∴CF=BG，

∵BC為直徑，

∴∠BAC=°，

∵A為弧BP中點，

∴∠GCA=∠BCA，

在△BAC和△GAC中

∴△BAC≌△GAC（ASA），

∴AG=AB=BG，

∴CF=2AB；

（3）連接OA交BP于H，

∵A為弧BP的中點，

∴OA⊥BP，

∵∠BPC=90°，

∴OA∥CP，

∴△AHF∽△CPF，

∴，

設(shè)OA=r，BC=2r，

∵BP=CP，∠BPC=90°，

∴PC=r，

∴OH=，AH=，

∴=．

考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.圓周角定理．