Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點的坐標為（﹣3，0），B點在原點的左側，與y軸交于點C（0，3），點P是直線BC上方的拋物線上一動點

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C（如圖1所示），那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請此時點P的坐標：若不存在，請說明理由；

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABCP的面積最大，并求出其最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．P點的坐標為（﹣，）；（3）P點的坐標為（﹣，），四邊形ABPC的面積的最大值為．

【解析】

（1）利用待定系數法直接將B、C兩點直接代入y＝x2+bx+c求解b，c的值即可得拋物線解析式；

（2）利用菱形對角線的性質及折疊的性質可以判斷P點的縱坐標為﹣，令y＝﹣即可得x2﹣2x﹣3＝﹣，解該方程即可確定P點坐標；

（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABCP的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線AC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關于四邊形ABCP的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊形ABCP的最大面積及對應的P點坐標．

（1）∵C點坐標為（0，3），

∴y＝﹣x2+bx+3，

把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，

解得，b＝﹣2，

∴該二次函數解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在．如圖1，

設P點的坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，

當四邊形POP'C為菱形時，則有PC＝PO，連接PP′，則PE⊥CO于E，

∴OE＝CE＝，

令﹣x2﹣2x+3＝，

解得，x1＝﹣，x2＝（不合題意，舍去）．

∴P點的坐標為（﹣，）．

（3）如圖2，過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OA交于點F，

設P（x，﹣x2﹣2x+3），設直線AC的解析式為：y＝kx+t，

則，

解得：，

∴直線AC的解析式為y＝x+3，

則Q點的坐標為（x，x+3），

當0＝﹣x2﹣2x+3，

解得：x1＝1，x2＝﹣3，

∴AO＝3，OB＝1，則AB＝4，

S四邊形ABCP＝S△ABC+S△APQ+S△CPQ

＝ABOC+QPOF+QPAF

＝×4×3+[（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3

＝﹣（x+）2+．

當x＝﹣時，四邊形ABCP的面積最大，

此時P點的坐標為（﹣，），四邊形ABPC的面積的最大值為．