Question

【題目】如圖，OA、OB是⊙O的兩條半徑，OA⊥OB，C是半徑OB上一動點，連接AC并延長交⊙O于D，過點D作圓的切線交OB的延長線于E，已知OA＝6．

（1）求證：∠ECD＝∠EDC；

（2）若BC＝2OC，求DE長；

（3）當∠A從15°增大到30°的過程中，求弦AD在圓內(nèi)掃過的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8；（3） .

【解析】

（1）連接OD，由切線的性質(zhì)得出∠EDC+∠ODA=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODA=∠OAC，得出∠EDC=∠ACO，即可得出結論；

（2）設DE=x，則CE=DE=x，OE=2+x，在Rt△ODE中，由勾股定理得出方程，解法長即可；

（3）過點D作DF⊥AO交AO的延長線于F，當∠A=15°時，∠DOF=30°，得出DF=OD=OA=3，∠DOA=150°，S弓形ABD=S扇形ODA-S△AOD=15π-9，當∠A=30°時，∠DOF=60°，S弓形ABD=S扇形ODA-S△AOD=12π-9，即可得出結果．

（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵DE是⊙O的切線，

∴∠EDC+∠ODA＝90°，

∵OA⊥OB，

∴∠ACO+∠OAC＝90°，

∵OA、OB是⊙O的兩條半徑，

∴OA＝OB，

∴∠ODA＝∠OAC，

∴∠EDC＝∠ACO，

∵∠ECD＝∠ACO，

∴∠ECD＝∠EDC；

（2）∵BC＝2OC，OB＝OA＝6，

∴OC＝2，

設DE＝x，

∵∠ECD＝∠EDC，

∴CE＝DE＝x，

∴OE＝2+x，

∵∠ODE＝90°，

∴OD2+DE2＝OE2，

即：62+x2＝（2+x）2，

解得：x＝8，

∴DE＝8；

（3）解：過點D作DF⊥AO交AO的延長線于F，如圖2所示：

當∠A＝15°時，∠DOF＝30°，

∴DF＝OD＝OA＝3，∠DOA＝150°，

S弓形ABD＝S扇形ODA﹣S△AOD＝﹣OADF＝15π﹣×6×3＝15π﹣9，

當∠A＝30°時，∠DOF＝60°，

∴DF＝OD＝OA＝3，∠DOA＝120°，

S弓形ABD＝S扇形ODA﹣S△AOD＝﹣OADF＝12π﹣×6×3＝12π﹣9，

∴當∠A從15°增大到30°的過程中，AD在圓內(nèi)掃過的面積＝（15π﹣9）﹣（12π﹣9）＝3π+9﹣9．