【題目】已知:正方形ABCD,∠EAF45°

1)如圖,當(dāng)點(diǎn)EF分別在邊BCCD上,連接EF,求證:EFBE+DF;

童威同學(xué)是這樣思考的,請(qǐng)你和他一起完成如下解答:證明:將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得ABG,所以ADF≌△ABG

2)如圖,點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上,且BNDM.當(dāng)點(diǎn)E、F分別在BM、DN上,連接EF,探究三條線段EFBE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

3)如圖,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在對(duì)角線BD、邊CD上.若FC2,則BE的長(zhǎng)為   

【答案】1)見解析;(2EF2BE2+DF2,證明見解析;(3BE.

【解析】

1)按照題目給的思路,由△ADF≌△ABG推出AF=AG,DF=BG,∠DAF=BAG,得到∠EAG=EAF.注意要證明GB、E三點(diǎn)共線,才能證得△EAG≌△EAF.把EF轉(zhuǎn)化到EG=BG+BE=DF+BE,得證.
2)把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABH,證明過程跟(1)類似,證得△EAH≌△EAF,把EF轉(zhuǎn)化到EH,然后利用BN=DM證明四邊形BMDN為平行四邊形得∠ABE=FDM,得∠EBH=ABH+ABE=ADF+MDN=90°,由EH2=BE2+BH2EF2=BE2+DF2
3)作為填空題,可把點(diǎn)E、F移動(dòng)到特殊位置思考,如FD重合時(shí),則EBD中點(diǎn),易得BE=BD,又BD=CD(即CF),得答案為.由∠EAF=EDF=45°聯(lián)想到點(diǎn)A、D、FE四點(diǎn)共圓,且AF為直徑,所以∠AEF=90°,△AEF為等腰直角三角形,故有AE=EF=EC,過點(diǎn)EEMCFM即有MCF中點(diǎn).考慮到BE為正方形對(duì)角線上的一段,過點(diǎn)EENBC構(gòu)造等腰直角△BEN,且EN=CM,則BE=EN=CM=

1)證明:將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△ABG,

∴△ADF≌△ABG,

AFAG,DFBG,∠DAF=∠BAG.

∵正方形ABCD,

∴∠D=∠BAD=∠ABE90°,ABAD,

∴∠ABG=∠D90°,即G、B、C在同一直線上.

∵∠EAF45°,

∴∠DAF+BAE90°﹣45°=45°,

∴∠EAG=∠BAG+BAE=∠DAF+BAE45°,

即∠EAG=∠EAF.

在△EAG與△EAF中,

,

∴△EAG≌△EAFSAS),

EGEF.

BE+DFBE+BGEG,

EFBE+DF

2EF2BE2+DF2,證明如下:

將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△ABH,(如圖2),

∴△ADF≌△ABH,

AFAH,DFBH,∠DAF=∠BAH,∠ADF=∠ABH,

∵∠EAF45°,

∴∠DAF+BAE90°﹣45°=45°,

∴∠EAH=∠BAH+BAE=∠DAF+BAE45°,

即∠EAH=∠EAF

在△EAH與△EAF中,

,

∴△EAH≌△EAFSAS),

EHEF.

BNDM,BNDM,

∴四邊形BMDN是平行四邊形,

∴∠ABE=∠MDN,

∴∠EBH=∠ABH+ABE=∠ADF+MDN=∠ADM90°,

EH2BE2+BH2,

EF2BE2+DF2

3)作△ADF的外接圓⊙O,連接EF、EC,過點(diǎn)E分別作EMCDM,ENBCN(如圖3),

∵∠ADF90°,

AF為⊙O直徑.

BD為正方形ABCD對(duì)角線,

∴∠EDF=∠EAF45°,

∴點(diǎn)E在⊙O上,

∴∠AEF90°,

∴△AEF為等腰直角三角形,

AEEF.

在△ABE與△CBE中,

∴△ABE≌△CBESAS),

AECE,

CEEF.

EMCF,CF2,

CMCF1,

ENBC,∠NCM90°,

∴四邊形CMEN是矩形,

ENCM1,

∵∠EBN45°,

BEEN,

故答案為:.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. 1個(gè);B. 2個(gè);

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1)若,,求的長(zhǎng);

2)求證:.

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(1)被調(diào)查者中,不吸煙者中贊成“徹底禁煙”的人數(shù)有______人;

(2)本次抽樣調(diào)查的樣本容量為_______;

(3)被調(diào)查中,希望建立吸煙室的人數(shù)有______;

(4)某市現(xiàn)有人口約30萬(wàn)人,根據(jù)圖中的信息估計(jì)贊成在餐廳徹底禁煙的人數(shù)約有______萬(wàn)人。

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1n=3m-9(用含m的代數(shù)式表示);
2)若點(diǎn)B為該拋物線的頂點(diǎn),求mn的值;
3)①設(shè)m=-2,當(dāng)-3≤x≤0時(shí),求二次函數(shù)y=x2+mx+n的最小值;
②若-3≤x≤0時(shí),二次函數(shù)y=x2+mx+n的最小值為-4,求m的值.

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C(單位:度)

34

36

38

40

他們又調(diào)查了各點(diǎn)的建筑材料存放量,并繪制了下列尚不完整的統(tǒng)計(jì)如圖、如圖:

1)求表中∠C度數(shù)的平均數(shù);

2)求A處的建筑原材料存放量,并將如圖補(bǔ)充完整;

3)用(1)中的作為∠C的度數(shù),要將A處的全部建筑原材料沿道路AB運(yùn)到B處,已知運(yùn)1方建筑原材料每米的費(fèi)用為0.1元,求運(yùn)完全部建筑原材料所需的費(fèi)用.(注:sin37°0.6,cos37°0.8,tan37°0.75

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