Question

已知：如圖，拋物線y=ax²-3x+c與x軸交于A、B，與y軸交于C，拋物線的頂點(diǎn)為D，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)P點(diǎn)作x軸的平行線交拋物線于E，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)t為何值時(shí)，P、A、Q、E四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形；
（3）將拋物線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的拋物線的頂點(diǎn)為F，交y軸于N，在平移后的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使S_△MNC=2S_△MFD？若存在求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-直接開(kāi)平方法,解一元二次方程-因式分解法,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,平行四邊形的判定

專題：綜合題

分析：（1）由條件可建立關(guān)于a與c的方程組，解這個(gè)方程組就可求出拋物線的解析式．
（2）由于PE∥AQ，只需PE=AQ，四邊形APEQ就是平行四邊形，此時(shí)PE=AQ=2+t，就可得到點(diǎn)E（2+t，4-t），代入拋物線的解析式就可求出t．
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)條件就可建立關(guān)于m的方程，解這個(gè)方程就可得到m，代入新拋物線的解析式就可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題可得：

- -3 2a =3 c=4

．
解得：

a= 1 2 c=4

．
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-3x+4．

（2）如圖1，
由題可得：PE∥AQ，CP=BQ=t．
解方程

1

2

x²-3x+4=0得：x₁=2，x₂=4．
則點(diǎn)A（2，0），B（4，0）．AB=2．
當(dāng)PE=AQ時(shí)，四邊形PAQE是平行四邊形，
此時(shí)PE=AQ=AB+BQ=2+t．
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+t，4-t）．
∵點(diǎn)E在拋物線y=

1

2

x²-3x+4上，
∴

1

2

（2+t）²-3（2+t）+4=4-t．
解得：t₁=2

2

，t₂=-2

2

（舍去）．
∴當(dāng)t=2

2

秒時(shí)，P、A、Q、E四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形．

（3）存在．
由題可得：平移后的拋物線的解析式為y=

1

2

x²-3x+4+2=

1

2

x²-3x+6，且CN=DF=2．如圖2，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m．n）．
∵S_△MNC=2S_△MFD，
S_△MNC=

1

2

×2×

.

m

.

=

.

m

.

，
S_△MFD=

1

2

×2×

.

3-m

.

=

.

3-m

.

，
∴

.

m

.

=2

.

3-m

.

．
∴m²=4（3-m）²．
解得：m₁=2，m₂=6．
當(dāng)m=2時(shí)，n=

1

2

×2²-3×2+6=2，點(diǎn)M（2，2）；
當(dāng)m=6時(shí)，n=

1

2

×6²-3×6+6=6，點(diǎn)M（6，6）．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2）或（6，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、解一元二次方程、平行四邊形的判定等知識(shí)，有一定的綜合性．需要注意的是：用坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)度時(shí)要加絕對(duì)值．