Question

已知二次函數(shù)C₁：y=x²+（2m+1）x+m²的圖象與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）若不論m為何值，二次函數(shù)C₁圖象的頂點(diǎn)D均在某一函數(shù)的圖象上，直接寫(xiě)出此函數(shù)的解析式；
（2）若二次函數(shù)C₁的圖象與x軸的交點(diǎn)分別為M、N，設(shè)△MNC的外接圓的圓心為P．試說(shuō)明⊙P與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)Q為定點(diǎn)，并判斷該定點(diǎn)Q是否在（1）中所求函數(shù)的圖象上；
（3）當(dāng)m=1時(shí)，將拋物線C₁向下平移n（n＞0）個(gè)單位，得到拋物線C₂，直線DC與拋物線C₂交于A、B兩點(diǎn)，若AD+CB=DC，求n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用題意得出函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用不論m為何值，二次函數(shù)C₁圖象的頂點(diǎn)D均在某一函數(shù)的圖象上，得出k的值，進(jìn)而得出答案；
（2）設(shè)M（x₁，0），N（x₂，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，m²），則OM•ON=x₁x₂=m²，再利用切割線定理OM×ON=OC×OQ，進(jìn)而得出OQ的值，即可得出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作AH⊥BH于點(diǎn)H，作DG⊥y軸于點(diǎn)G，得出m=1時(shí)，得出函數(shù)解析式，進(jìn)而得出AB=2DC，AH=2DG=3，求出DC的解析式，進(jìn)而利用根與系數(shù)關(guān)系得出n的值．

解答：解：（1）∵y=x²+（2m+1）x+m²=（x+m+

1

2

）²-m-

1

4

，
若不論m為何值，二次函數(shù)C₁圖象的頂點(diǎn)D均在某一函數(shù)的圖象上，
∴設(shè)函數(shù)解析式為：y=kx+b，
則-m-

1

4

=k（-m-

1

2

）+b，
故k=1，則b=

1

4

，
故此函數(shù)解析式為：y=x+

1

4

；

（2）如圖1，設(shè)M（x₁，0），N（x₂，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，m²），
則OM•ON=x₁x₂=m²，
設(shè)⊙P與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，
OM×ON=OC×OQ，
則OQ=

OM×ON

CO

=

|x1x2|

m2

=1，
∵m²＞0，
∴點(diǎn)C在y軸的正半軸上，開(kāi)口向上，從而點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，
∴點(diǎn)Q為頂點(diǎn)，它的坐標(biāo)為：（0，1），
Q（0，1）不在（1）中所求函數(shù)圖象上；

（3）如圖2，作AH⊥BH于點(diǎn)H，作DG⊥y軸于點(diǎn)G，
∵y=x²+（2m+1）x+m²中m=1，
∴y=x²+3x+1=（x+

3

2

）²-

5

4

，
則x=-

b

2a

=-

3

2

，
∵AD+CB=DC，
∴AB=2DC，AH=2DG=3，
設(shè)拋物線C₂的解析式為：y=x²+3x+1-n，
由題意可得：D（-

3

2

，-

5

4

），C（0，1），
設(shè)DC的解析式為：y=ax+c，則

c=1 - 3 2 a+c=- 5 4

，
解得：

c=1 a= 3 2

故DC的解析式為：y=

3

2

x+1，
則x²+3x+1-n=

3

2

x+1，
故x_A，x_B是方程x²+

3

2

x-n=0兩根，
x_A+x_B=-

3

2

，x_Ax_B=-n，
故|x_B-x_A|=

9 4 +4n

，
則

9 4 +4n

=3，
解得：n=

27

16

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及切割線定理等知識(shí)，熟練結(jié)合切割線定理得出QO的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．