Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，點D是BC邊上的一個動點，點E在AC邊上，∠ADE=∠B．設(shè)BD的長為x，CE的長為y．
（1）當D為BC的中點時，求CE的長；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）如果△ADE為等腰三角形，求x的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,勾股定理

專題：

分析：（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AB=AC得∠B=∠C，再利用三角形外角性質(zhì)得∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，加上∠ADE=∠B，則∠BAD=∠CDE，根據(jù)相似三角形的判定方法待定△ABD∽△DCE，利用相似比得到y(tǒng)=-

1

6

x²+

4

3

x（0≤x≤8），然后把x=4代入計算得到CE的長為

8

3

；
（2）由（1）得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

6

x²+

4

3

x（0≤x≤8）；
（3）由于∠AED＞∠C，而∠B=∠ADE=∠C，則∠AED＞∠ADE，所以AE＜AD，然后分類討論：當DA=DE時，利用△ABD∽△DCE得到

x

y

=1，即x=y，得到一元二次方程-

1

6

x²+

4

3

x=x，解方程得x₁=0，x₂=2；當EA=ED時，得到∠EAD=∠ADE，而∠ADE=∠C，所以∠EAD=∠C，可判斷△DAC∽△ABC，利用相似比得到

8-x

6

=

6

8

，解得x=

7

2

．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
而∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

，

6

8-x

=

x

y

，
∴y=-

1

6

x²+

4

3

x，
當x=4時，y=-

1

6

×16+

4

3

×4=

8

3

，
即當D為BC的中點時，CE的長為

8

3

；
（2）由（1）得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

6

x²+

4

3

x（0≤x≤8）；
（3）∵∠AED＞∠C，
而∠B=∠ADE=∠C，
∴∠AED＞∠ADE，
∴AE＜AD，
當DA=DE時，
∵△ABD∽△DCE，
∴

AD

DE

=

BD

CE

，即

x

y

=1，
∴x=y，
∴-

1

6

x²+

4

3

x=x，解得x₁=0，x₂=2，
當EA=ED時，則∠EAD=∠ADE，
而∠ADE=∠C，
∴∠EAD=∠C，
∴△DAC∽△ABC，
∴

DC

AB

=

AC

BC

，即

8-x

6

=

6

8

，
∴x=

7

2

，
綜上所述，當△ADE為等腰三角形，x的值為0或2或

7

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似；相似三角形對應邊的比相等，都等于相似比．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．