Question

【題目】類比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)等邊四邊形”．

（1）已知：如圖1，在“準(zhǔn)等邊四邊形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC的長(zhǎng)；

（2）在探究性質(zhì)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：對(duì)角線互相垂直的“準(zhǔn)等邊四邊形”是菱形．請(qǐng)你判斷此結(jié)論是否正確，若正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)舉出反例；

（3）如圖2，在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=90°．在AB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得以A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形為“準(zhǔn)等邊四邊形”． 若存在，請(qǐng)求出該“準(zhǔn)等邊四邊形”的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）正確，證明詳見(jiàn)解析；（3）存在，有四種情況，面積分別是：，，，

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)度,

（2）根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形判斷,

（3）有四種情況，作輔助線，將四邊形分成兩個(gè)三角形和一個(gè)四邊形或兩個(gè)三角形，相加可得結(jié)論.

（1）∵BD⊥CD

∴∠BDC=90°，BC>CD

∵在“準(zhǔn)等邊四邊形”ABCD中，BC≠AB，

∴AB=AD=CD=3,

∵BD=4，

∴BC=,

（2）正確．

如圖所示：

∵AB=AD

∴ΔABD是等腰三角形．

∵AC⊥BD．

∴AC垂直平分BD．

∴BC=CD

∴CD =AB=AD=BC

∴四邊形 ABCD是菱形．

（3）存在四種情況，

如圖2，四邊形ABPC是“準(zhǔn)等邊四邊形”,過(guò)C作于F，則,

∵EP是AB的垂直平分線，

∴ ,

∴四邊形AEFC是矩形，

在中， ,

∴ ,

∵

∴

∴

如圖4，四邊形ABPC是“準(zhǔn)等邊四邊形”,

∵ ,

∴是等邊三角形，

∴ ;

如圖5，四邊形ABPC是“準(zhǔn)等邊四邊形”,

∵ ,PE是AB的垂直平分線，

∴ E是AB的中點(diǎn)，

∴ ,

∴

∴

如圖6，四邊形ABPC是“準(zhǔn)等邊四邊形”,過(guò)P作于F，連接AP，

∵，

∴，

∴