Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）．拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)P為線段BC上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)Q為線段AC上一個動點(diǎn)，AQ=CP，連接PQ，設(shè)CP=m，△CPQ的面積為S．

①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)S最大時，在拋物線的對稱軸l上，若存在點(diǎn)F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②（，4），（，8），（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，即可求得拋物線的解析式；

（2）①先用m表示出QE的長度，進(jìn)而求出三角形的面積S關(guān)于m的函數(shù)；

②直接寫出滿足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)即可，注意不要漏寫．

試題解析：（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，得

，解得：，∴拋物線的解析式為；

（2）①∵OA=8，OC=6，∴AC==10，過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn)，則sin∠ACB=，∴，∴QE=，∴S=CPQE=m×=；

②∵S=CPQE=m×==，∴當(dāng)m=5時，S取最大值；

在拋物線對稱軸l上存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形，∵拋物線的解析式為的對稱軸為x=，D的坐標(biāo)為（3，8），Q（3，4）；

當(dāng)∠FDQ=90°時，F(xiàn)1（，8）；

當(dāng)∠FQD=90°時，則F2（，4）；

當(dāng)∠DFQ=90°時，設(shè)F（，n），則，即，解得：n=，∴F3（，），F(xiàn)4（，），滿足條件的點(diǎn)F共有四個，坐標(biāo)分別為

F1（，8），F(xiàn)2（，4），F(xiàn)3（，），F(xiàn)4（，）．