【題目】1)如圖,在正方形 ABCD 中,∠FAG=45°,請直接寫出 DG,BF FG 的數(shù)量關(guān)系,不需要證明.

2)如圖,在 RtABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,E,F 分別是 BC 上兩點,∠EAF=45°,

①寫出 BE,CF,EF 之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

②若將(2)中的△AEF 繞點 A 旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置,上述結(jié)論是否仍然成立? 若不成立,直接寫出新的結(jié)論 ,無需證明.

3)如圖,△AEF 中∠EAF=45°,AGEF G,且GF=2,GE=3,則 =

【答案】1FG=BF+DG;(2)①EF2=BE2+FC2,理由見解析;②仍然成立;(315

【解析】

1)把△AGD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABP,可使ADAB重合,再證明△AFG≌△AFP進而得到PF=FG,即可得FG=BF+DG

2)①根據(jù)△AFC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AGB,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可知△ACF≌△ABG得到BG=FC,AG=AF,∠C=ABG,∠FAC=GAB,根據(jù)RtABC中的AB=AC得到∠GBE=90°,所以GB2+BE2=GE2,證△AGE≌△AFE,利用EF=EG得到EF2=BE2+FC2;

②將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)使得ABAD重合,點E的對應(yīng)點是G,同上的方法證得GC2+CF2=FG2,再設(shè)法利用SAS證得△AFG≌△AFE即可求解;

3)將△AEG沿AE對折成△AEB,將△AFG沿AF對折成△AFD,延長BE、DF相交于C,構(gòu)成正方形ABCD,在RtEFC中,利用勾股定理求得正方形的邊長,即可求得AG的長,從而求得答案.

1)∵四邊形ABCD為正方形,

AB=AD,∠ADC=ABC=90°,
∴把△AGD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABP,使ADAB重合,


∴∠BAP=DAG,AP= AG,
∵∠BAD=90°,∠FAG=45°,
∴∠BAF+DAG=45°
∴∠PAF=FAG=45°,
∵∠ADC=ABC=90°,
∴∠FBP=180°,點FB、P共線,
在△AFG和△AFP中,

,
∴△AFG≌△AFPSAS),
PF=FG,
即:FG=BF+DG;

2)①FC2+BE2=EF2,證明如下:

AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠C=ABC=45°

將△AFC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AGB,

∴△ACF≌△ABG

BG=FC,AG=AF,∠C=ABG=45°,∠FAC=GAB,

∴∠GBE=ABG +ABC =90°,

GB2+BE2=GE2

又∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+FAC=45°,
∴∠GAB+BAE=45°,
即∠GAE=45°,
在△AGE和△AFE中,

,
∴△AGE≌△AFESAS),
GE=EF,

FC2+BE2=EF2;

②仍然成立,理由如下:

如圖,將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)使得ABAD重合,點E的對應(yīng)點為點G,

∴△ACG≌△ABE

CG=BE,AG=AE,∠ACG=ABE=45°,∠BAE=CAG,

∴∠GCB=ACB +ACG =90°,即∠GCF=90°,

GC2+CF2=FG2,

∵∠BAE+EAC=BAC=90°,

∴∠CAG+EAC=90°,

又∵∠EAF=45°,
∴∠GAF=90°-EAF=45°,
∴∠GAF=EAF=45°
在△AFG和△AFE中,

,
∴△AFG≌△AFESAS),
GF=EF,

FC2+BE2=EF2;

3)將△AEG沿AE對折成△AEB,將△AFG沿AF對折成△AFD,延長BE、DF相交于C,

∴△AEGAEB,△AFGAFD

AB=AG=AD,BE=EG=3,DF=FG=2,∠EAG=EAB,∠FAG=FAD,∠B=D=90°

∵∠EAF=45°,
∴∠EAB+FAD=EAG+FAG=EAF=45°,
∴∠BAD=90°
∴四邊形ABCD為正方形,

設(shè)AG =,則AB=BC=CD=,

RtEFC中,EF=3+2=5,EC=BC-BE=,FC=CD-DF=,

,


解得:(舍去),
AG=6,

故答案為:15

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