Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=12cm，BD=16cm，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0），以點(diǎn)M為圓心，MB長(zhǎng)為半徑的⊙M與射線BA，線段BD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EN．
（1）求BF的長(zhǎng)（用含有t的代數(shù)式表示），并求出t的取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，線段EN與⊙M相切？
（3）若⊙M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接MF．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8，

在Rt△AOB中，AB= =10，

∵M(jìn)B=MF，AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=∠MFB，

∴MF∥AD，

∴ = ，

∴ = ，

∴BF= t（0＜t≤8）．

（2）解：當(dāng)線段EN與⊙M相切時(shí)，易知△BEN∽△BOA，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ．

∴t= s時(shí)，線段EN與⊙M相切．

（3）解：①由題意可知：當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，⊙M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn)．

②當(dāng)F與N重合時(shí)，則有 t+2t=16，解得t= ，

關(guān)系圖象可知， ＜t＜8時(shí)，⊙M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)0＜t≤ 或 ＜t＜8時(shí)，⊙M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】（1）連接MF．只要證明MF∥AD，可得 = ，即 = ，解方程即可；（2）當(dāng)線段EN與⊙M相切時(shí)，易知△BEN∽△BOA，可得 = ，即 = ，解方程即可；（3）①由題意可知：當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，⊙M與線段EN只有一個(gè)公共點(diǎn)．②當(dāng)F與N重合時(shí)，則有 t+2t=16，解得t= ，觀察圖象即可解決問題；