Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD的延長線，垂足為E，如圖1

（1）求證：ADCD=BDDE；
（2）若BD是邊AC的中線，如圖2，求 的值；

（3）如圖3，連接AE．若AE=EC，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵CE⊥BD，

∴∠A=∠E=90°，

∵∠ADB=∠EDC，

∴△BAD∽△CED，

∴ ，

∴ADCD=BDDE；

（2）

解：設(shè)CD=AD=a，則AB=AC=2a．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= a，

由（1）知，△BAD∽△CED，

∴ ，

∴ ，

解得：CE= a，

∴ = = ；

（3）

解：如圖3，延長CE、BA相交于點F．

∵BE是∠ABC的角平分線，且BE⊥CF

在△BEC和△BEF中， ，

∴△BEC≌△BEF，

∴CE=EF，

∴CF=2CE

又∵∠ABD+∠ADB=∠CDE+∠ACF=90°，

且∠ADB=∠CDE，

∴∠ABD=∠ACF

∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF（ASA），

∴BD=CF，

∴BD=2CE，

∴ =2．

【解析】（1）直接判斷出△ABD∽△ECD，即可得出結(jié)論；（2）先設(shè)AB=AC=2a，CD=a，則BC= a，AD=a．求出BD，而△BAD∽△CED，得出 ，代入求出CE即可解決問題．（2）如圖3，延長CE、BA相交于點F．只要證明△BEC≌△BEF，推出CE=EF，CF=2CE，由ABD≌△ACF，推出BD=CF，即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．