Question

（14分）如圖，拋物線交x軸于點A（－3，0），點B（1，0），交y軸于點E（0，－3）．點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行．直線過點C，交y軸于D點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3分）

（2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值；（4分）

（3）在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標(biāo)．（7分）

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）N(－5，12)或(11，140)或(－1，－4)．

【解析】

試題分析：（1）把點E，A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求出a、b、c的值；

（2）根據(jù)C點的坐標(biāo)求出直線CD的解析式，然后結(jié)合圖形設(shè)出K點的坐標(biāo)（t，0），表達(dá)出H點和G點的坐標(biāo)，列出HG關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；

（3）需要討論解決，①若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的邊，當(dāng)點N在點M的左側(cè)時，MN=3﹣n；當(dāng)點N在點M的右側(cè)時，MN=n﹣3，然后根據(jù)已知條件在求n的坐標(biāo)就容易了

②若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的對角線時，由“點C與點A關(guān)于點B中心對稱”知：點M與點N關(guān)于點B中心對稱，取點F關(guān)于點B的對稱點P，則P點坐標(biāo)為（﹣1，0），過P點作NP⊥x軸，交拋物線于點N，結(jié)合已知條件再求n的坐標(biāo)就容易了．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，

∵拋物線交y軸于點E（0，﹣3），將該點坐標(biāo)代入上式，得a=1，

∴所求函數(shù)表達(dá)式為，即；

（2）∵點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點A坐標(biāo)（﹣3，0），點B坐標(biāo)（1，0），

∴點C坐標(biāo)（5，0），

∴將點C坐標(biāo)代入，得m=5，

∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為，

設(shè)K點的坐標(biāo)為（，0），則H點的坐標(biāo)為（，），G點的坐標(biāo)為（，），

∵點K為線段AB上一動點，∴﹣3≤t≤1，∴HG=（）﹣（）=，

∵﹣3＜＜1，∴當(dāng)時，線段HG的長度有最大值；

（3）∵點F是線段BC的中點，點B（1，0），點C（5，0），∴點F的坐標(biāo)為（3，0），

∵直線l過點F且與y軸平行，∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3，

∵點M在直線l上，點N在拋物線上，∴設(shè)點M的坐標(biāo)為（3，m），點N的坐標(biāo)為（n，），

∵點A（﹣3，0），點C（5，0），∴AC=8，

分情況討論：①若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的邊，則需MN∥AC，且MN=AC=8．

當(dāng)點N在點M的左側(cè)時，MN=3﹣n，∴3﹣n=8，解得n=﹣5，∴N點的坐標(biāo)為（﹣5，12），

當(dāng)點N在點M的右側(cè)時，MN=n﹣3，∴n﹣3=8，解得n=11，∴N點的坐標(biāo)為（11，140），

②若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的對角線，由“點C與點A關(guān)于點B中心對稱”知：點M與點N關(guān)于點B中心對稱，取點F關(guān)于點B的對稱點P，則P點坐標(biāo)為（﹣1，0）

過P點作NP⊥x軸，交拋物線于點N，將代入，得y=﹣4，

過點N作直線NM交直線l于點M，

在△BPN和△BFM中，∵∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°，∴△BPN≌△BFM，

∴NB=MB，∴四邊形ANCM為平行四邊形，∴坐標(biāo)（﹣1，﹣4）的點N符合條件，

∴當(dāng)N的坐標(biāo)為（﹣5，12），（11，140），（﹣1，﹣4）時，以點A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形．

考點：二次函數(shù)綜合題．