Question

【題目】如圖 ，等腰三角形PEF中，PE=PF，點(diǎn)O在EF邊上（異于點(diǎn)E，F），點(diǎn)Q是PO延長線上一點(diǎn)，若△EFQ為等腰三角形，則稱點(diǎn)Q為△PEF的“同類點(diǎn)”.

（1）如圖，BG平分∠MBN，過射線BM上的點(diǎn)A作AD∥BN，交射線BG于點(diǎn)D，點(diǎn)O為BD上一點(diǎn)，連接AO并延長交射線BN于點(diǎn)C，若∠BAD=100°，∠BCD=70°，求證：點(diǎn)C是△ABD的“同類點(diǎn)”；

（2）如圖③，在5×5的正方形網(wǎng)格圖上有一個(gè)△ABC，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，在給出的網(wǎng)格圖上有一個(gè)格點(diǎn)D，使得點(diǎn)D為△ABC的“同類點(diǎn)”，則這樣的點(diǎn)D共有__________個(gè)；

（3）凸四邊形ABCD中，∠ABC=110°，DA=AB=BC，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且BD≠CD，若點(diǎn)C為△ABD的“同類點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出滿足條件的∠ADC的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4；（3）∠ADC的度數(shù)為125°或110°.

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得△ABD是等腰三角形，然后可求出∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BDC的度數(shù)即可得到△BCD為等腰三角形，即點(diǎn)C是△ABD的“同類點(diǎn)”；

（2）找出所有在BC下方能使△BCD為等腰三角形的格點(diǎn)D即可；

（3）根據(jù)點(diǎn)C為△ABD的“同類點(diǎn)”可知△BCD為等腰三角形，然后分情況討論：①當(dāng)BD=BC時(shí)，②當(dāng)BC=CD時(shí)，分別作出圖形，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

解：（1）∵BG平分∠MBN，

∴∠ABD=∠DBC，

∵AD∥BN，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ADB=∠ABD，

∴△ABD是等腰三角形，

又∵∠BAD=100°，

∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°，

∵∠BCD=70°，

∴∠BDC=180°－∠DBC－∠BCD=180°－40°－70°=70°，

∴△BCD為等腰三角形，

∴點(diǎn)C是△ABD的“同類點(diǎn)”；

（2）如圖所示：這樣的點(diǎn)D共有4個(gè)；

（3）∵∠ABC=110°，DA=AB=BC，BD≠CD，點(diǎn)C為△ABD的“同類點(diǎn)”，

分情況討論：

①如圖，當(dāng)BD=BC時(shí)，則BD=BC=DA=AB，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠ABD=∠ADB=60°，

∴∠DBC=110°－60°＝50°，

∴∠BDC=，

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+65°=125°；

②如圖，當(dāng)BC=CD時(shí)，

則∠ABD=∠ADB，∠CDB=∠CBD，

∴∠ADB+∠CDB=∠ABD+∠CBD，

∴∠ADC=∠ABC=110°，

綜上，∠ADC的度數(shù)為125°或110°.