Question

【題目】在一個(gè)邊長(zhǎng)為a（單位：cm）的正方形ABCD中，點(diǎn)E、M分別是線段AC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交正方形的邊于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DF于H，交AD于N

(1) 如圖①，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：DF=MN；

(2) 如圖②，假設(shè)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1 cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）

① 判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假，并說(shuō)明理由．

② 連結(jié)FM、FN，△MNF能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)寫出a、t之間的關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①該命題是真命題．理由見(jiàn)解析；②能．理由見(jiàn)解析；

【解析】

試題分析：（1）證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；

（2）①首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時(shí)間t=a，進(jìn)而得到CM=a=CD，所以該命題為真命題；

②若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論．

試題解析：（1）∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，

∴∠ADF=∠DCN．

在△ADF與△DNC中，

，

∴△ADF≌△DNC（ASA），

∴DF=MN．

（2）①該命題是真命題．

理由如下：當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則AF=AB=CD．

∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，

∴，

∴AE=EC，則AE=AC=a，

∴t==a．

則CM=1t=a=CD，

∴點(diǎn)M為邊CD的三等分點(diǎn)．

②能．理由如下：

易證△AFE∽△CDE，∴，即，得AF=．

易證△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t．

∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．

若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：

（Ⅰ）若FN=MN，則由AN=DM知△FAN≌△NDM，

∴AF=ND，即=t，得t=0，不合題意．

∴此種情形不存在；

（Ⅱ）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，

∴t=a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合；

（Ⅲ）若FM=MN，顯然此時(shí)點(diǎn)F在BC邊上，如下圖所示：

∵AN=DM，AD=CD，

∴ND=CM，

∵，

∴△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；

又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=．

∴=a-t，

∴t=a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合．

綜上所述，當(dāng)t=a或t=a時(shí)，△MNF能夠成為等腰三角形．