Question

【題目】如圖，為的直徑，是的弦，是弧的中點(diǎn)，弦于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．

（1）求證：；

（2）若，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，如圖，先利用切線的性質(zhì)得OC⊥PC，再利用垂徑定理得到OC⊥AE，所以PC∥AE；

（2）設(shè)OC與AE交于點(diǎn)H，如圖，利用垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理得，則AF=CF=5，在中利用三角函數(shù)的定義可計(jì)算出，，進(jìn)而證明，得到AH=CD=8，所以AE=2AH=16，然后證明，于是利用相似比可計(jì)算出BE．

證明：（1）連接，如圖，

∵為的切線，

∴，

∵是弧的中點(diǎn)，

∴，

∴；

（2）設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，

∵，

∴，，

在和中

，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

故答案為：12．