Question

如圖，已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點.

（1）、求拋物線相應的函數表達式;

（2）、點M是線段BC上的點（不與B、C重合），過M作MN∥軸交拋物線于N，連接NB. 若點M的橫坐標為t，是否存在t，使MN的長最大？若存在，求出sin∠MBN的值；若不存在，請說明理由;

(3)、若對一切x≥0均有ax²＋bx＋c≤mx－m+13成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

 (1) 用待定系數法，建立方程組正確（2分），拋物線的函數表達式為y=-x²+2x+3（2分）;

(2)MN=-t²+3t=-（t-1.5）²+2.25（2分）;當t=1.5時（1分），MN的最大值為2.25；此時M（1.5，1.5），N（1.5，3.75）；得BM=; MN=; BN=;過點M作△BNM的高MH，得MH=（1分）；sin∠MBN=（1分）；

（3）令y₁=-x²+2x+3； y₂=mx－m+13，得直線y₂=mx－m+13過點（1，13）（1分），當y₁=y₂時，有-x²+2x+3=mx－m+13，其△=m²-36=0，得m=-6（2分），或m=6（因為 x≥0，所以舍去），當直線y₂=mx－m+13過點C時，m=10（1分），由圖像可知，當-6≤m≤10時，均有y₁≤y_2，所以m的取值范圍為-6≤m≤10（1分）。