Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4

3

，∠C=30°．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動的時間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．

（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．
（3）當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）利用已知用未知數(shù)表示出DF，AE的長，進(jìn)而得出AE=DF；
（2）首先得出四邊形AEFD為平行四邊形，進(jìn)而利用菱形的判定與性質(zhì)得出AE=AD時，求出t的值，進(jìn)而得出答案；
（3）利用①當(dāng)∠EDF=90°時；②如圖，當(dāng)∠DEF=90°時；③當(dāng)∠EFD=90°時，分別分析得出即可．

解答：解：（1）∵在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t，
又∵AE=t
∴AE=DF；

（2）能，理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE=DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
∵AB=BC×tan30°=4

3

×

3

3

=4，
∴AC=2AB=8，
∴AD=AC-DC=8-2t，
若使平行四邊形AEFD為菱形，則需AE=AD，
即t=8-2t，
解得：t=

8

3

，
即當(dāng)t=

8

3

時，四邊形AEFD為菱形；

（3）①當(dāng)∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE，
即8-2t=2t，
解得：t=2；

②如圖，當(dāng)∠DEF=90°時，由（2）知，EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=90°-∠C=60°，
∴AD=AE×cos60°，
即8-2t=

1

2

t，
解得：t=

16

5

；

③當(dāng)∠EFD=90°時，此種情況不存在．
綜上所述，當(dāng)t=2或

16

5

時，△DEF為直角三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了四邊形綜合以及菱形的判定和銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．