Question

如圖：
（1）分別求出直線和拋物線的解析式；
（2）若M為拋物線第一象限的動(dòng)點(diǎn)，求S_△AMB的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：（1）由圖可得點(diǎn)A，C，B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A（3，0），B（-1，0），C（0，3）代入得出方程組，求解即可得出拋物線的解析式，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入可得方程組，求解即可得出直線的解析式，
（2）當(dāng)直線平行與直線AB，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，S_△AMB的最值．設(shè)直線為y=-x+b，可得-x+b=-x²+2x+3，利用△=0解得b的值，利用圖形可得出BD的值，再由∠ODM=45°，BM⊥DM，可得BM的值，利用三角形面積公式即可求出S_△AMB．

解答：解：（1）由圖可得A（3，0），C（-1，0），B（0，3），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
把A（3，0），B（-1，0），C（0，3）代入可得

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=3

，解得

a=-1 b=2 c=3

，
所以拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入得

3k+b=0 b=3

，解得

k=-1 b=3

，
所以y=-x+3，
（2）當(dāng)直線平行與直線AB，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，S_△AMB的最值．
設(shè)直線為y=-x+b，
可得-x+b=-x²+2x+3，化簡得，x²-3x+b-3=0，
由△=0可得9-4×（b-3）=0，解得b=

21

4

，
如圖，BD=b-OB=

21

4

-3=

9

4

，

∵∠ODM=45°，
∴BM⊥DM，
∴BM=

9 2

8

，
∴S_△AMB=

1

2

×3

2

×

9 2

8

=

27

8

．

點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)，圖象上坐標(biāo)點(diǎn)的特征等，解題的關(guān)鍵是利用△求出b的值．