Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，OA=6，AB=8．動點M、N分別從O、B同時出發(fā)，都以1個單位的速度運動，其中，點M沿OA向終點C運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連接MP，已知動點運動了x秒．
（1）點B的坐標是

 

，用含x的代數式表示點P的坐標為

 

；
（2）設四邊形OMPC的面積為S，求當S有最小值時點P的坐標；
（3）試探究，當S有最小值時，在線段OC上是否存在點T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的

1

3

？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數綜合題,一元二次方程的解,一元一次不等式的應用

專題：創(chuàng)新題型

分析：（1）點B的橫縱坐標分別是OA、AB的長度，根據可PN∥AB求出點P的橫坐標和縱坐標，即可解題；
（2）假設運動了x秒，即可得關于x的一元二次不等式，即可求出最小值；
（3）假設點T存在可求出點T的坐標，再根據△OTE的面積是△ONC面積的

1

3

可以求得關于t的方程式，即可解題．

解答：解：（1）∵OA=6，OB=8，
∴B點坐標為（6，8），
∵動點運動了x秒，
∴N點的橫坐標為6-x，
∵PN⊥BC，AB⊥BC，
∴PN∥AB，
∴

PN

AB

=

CN

CB

，即PN=

4(6-x)

3

，
∴P點縱坐標為8-PN=

4x

3

，
∴點P坐標為（6-x，

4x

3

）；
（2）設運動了x秒時，S為最小值，
S=S_△AOC-S_△APM=

1

2

×6×8-

1

2

•

4x

3

•（6-x）
=

2

3

x²-4x+24=

2

3

 (x-3)2+18，
∴當x=3時，S有最小值，
此時點P坐標為（3，4）；
（3）假設存在點T（0，t），則直線MT的解析式是y=-

t

3

x+t，
它與直線ON：y=

8

3

x的交點坐標為E（

3t

8+t

，

8t

8+t

），
∵△OTE的面積是△ONC面積的

1

3

，
∴整理可得

1

2

•t•

3t

8+t

=4，解得t=

-4±4 13

3

，
∵0＜t＜8，∴t=

-4+4 13

3

．
∴T點坐標為（0，

-4+4 13

3

）．

點評：本題考查了一元一次不等式的應用，考查了一元二次方程的解的計算，熟練掌握一元二次方程的解的計算公式是解題的關鍵．