Question

已知：如圖，射線CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，OE平分∠COF 交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，且滿足OB平分∠AOF．
（1）求：∠EOB的度數(shù)．
（2）探究∠OBC與∠OFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；若向右平移AB，則∠OBC與∠OFC的數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請直接寫出變化的結(jié)論．
（3）在向右平移AB的過程中，能否使∠OEC=∠OBA？若存在，求出此時兩角相等的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)CB∥OA得出∠AOC+∠C=180°，故可得出∠COA的度數(shù)，再由角平分線的定義得出∠1=∠2，∠3=∠4．根據(jù)∠COA=∠1+∠2+∠3+∠4=60°可得出∠EOB的度數(shù)；
（2）根據(jù)BC∥OA可知∠5=∠FOA=∠3+∠4，∠6=∠4，再由∠3=∠4，可得出∠6=∠3，∠5-2∠6，即∠OFC=2∠OBC，故可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)∠OAB=120°，∠COA=60°可知OC∥AB，故∠1+∠2+∠3=∠OBA，同理∠OEC=∠EOA=∠2+∠3+∠4．再由∠OEC=∠OBA，得出∠1=∠4，由∠1=∠2，∠3=∠4可知∠1=

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∠AOC=15°，根據(jù)∠OEC=3∠1即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
∵∠C=120°（已知），
∴∠COA=60°．  
∵OE平分∠COF （已知），
∴∠1=∠2（角平分線的定義）．
同理可得，∠3=∠4．
∵∠COA=∠1+∠2+∠3+∠4=60°，
∴∠2+∠3=

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∠COA=30°，即∠EOB=30°；
     
（2）∠OFC=2∠OBC．
∵BC∥OA，
∴∠5=∠FOA=∠3+∠4，∠6=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
又∵∠3=∠4，
∴∠6=∠3，
∴∠5-2∠6，即∠OFC=2∠OBC．
∴向右平移AB，兩個角的數(shù)量關(guān)系不變．

（3）存在．
∵∠OAB=120°，∠COA=60°，
∴∠OAB+∠COA=180°，
∴OC∥AB（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），
∴∠COB=∠OBA（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），即∠1+∠2+∠3=∠OBA，
∵BC∥OA，
∴∠OEC=∠EOA=∠2+∠3+∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
∵∠OEC=∠OBA，
∴∠1=∠4．
∵∠1=∠2，3=∠4，
∴∠1=

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4

∠AOC=15°，
∴∠OEC=3∠1=45°．

點(diǎn)評：本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知平行線的判定定理與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．