Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，以AC為直徑的⊙O交AD于點E，交BC于點F，AB2=BFBC．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）若．

①求證：AC2=ABCD；

②若AC=3，EF=2，則AB+CD= ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②9．

【解析】

（1）連接AF，由題意可證△ABC∽△FBA，可得∠BAC=∠BFA=∠AFC=90°，由切線的判定可得AB與⊙O相切；

（2）①通過證明△ABC∽△CAD，可得，可得AC2=AB·CD；

②由垂徑定理和勾股定理可求OG的長，由平行線分線段成比例求出AB的長，代入AC2=AB·CD，可求CD的長，即可求AB+CD的值．

（1）連接AF，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠AFC=∠AFC =90°

∵AB2=BF·BC，

即，且∠B=∠B，

∴△ABC∽△FBA，

∴∠BAC=∠BFA=90°，

即OA⊥AB，

且∵點A在⊙O上，

∴AB與⊙O相切

（2）①連接CE，

∵，AC是⊙O的直徑，

∴，

∴AE=AF，CE=CF，

∴AC垂直平分EF．

∵AB//CD，

∴∠ACD=∠CAB=∠AGE=90°，

∴EF//CD，

∴∠AEF=∠D．

∵∠AEF=∠ACB，

∴∠ACB=∠D，且∠ACD=∠CAB，

∴△ABC∽△CAD，

∴，

∴AC 2=AB·CD

②連接OF

∵OG⊥EF，

∴GFEF=1，

∴OG，

∴CG

∵EF//AB，

∴，

∴AB

∵AC 2=AB·CD，

∴AC，

∴AB+CD=9

故答案為：9．