Question

【題目】如圖，在△ABD中，∠BAD＝80°，C為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BAC＝130°，∠ABD的角平分線與AC交于點(diǎn)E，連接DE．

（1）求證：點(diǎn)E到DA、DC的距離相等；

（2）求∠BED的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BED＝40°

【解析】

（1）作輔助線，構(gòu)建角平分線的距離，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和逆定理可得：EF＝EG＝EH，進(jìn)而解答即可；

（2）設(shè)∠DEG＝y，∠GEB＝x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：∠GEA＝∠FEA＝40°，∠FEB＝∠HEB，列方程為2y+x＝80﹣x，y+x＝40，可得結(jié)論：∠DEB＝40°．

證明：（1）過E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，

∵BE平分∠ABD，

∴EH＝EF，

∵∠BAC＝130°，

∴∠FAE＝∠CAD＝50°，

∴EF＝EG，

∴EG＝EH，

∴ED平分∠CDG，

∴點(diǎn)E到DA、DC的距離相等；

（2）∵ED平分∠CDG，

∴∠HED＝∠DEG，

設(shè)∠DEG＝y，∠GEB＝x，

∵∠EFA＝∠EGA＝90°，

∴∠GEA＝∠FEA＝40°，

∵∠EFB＝∠EHB＝90°，∠EBF＝∠EBH，

∴∠FEB＝∠HEB，

∴2y+x＝80﹣x，

2y+2x＝80，

y+x＝40，

即∠DEB＝40°．