Question

（12分）如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為4， EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：△ADE ∽△BEF ；

（2）AE=x，BF=y．當(dāng)x取什么值時(shí)，y有最大值? 并求出這個(gè)最大值;

（3）已知D、C 、F、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，連接CE、DF，若sin∠CEF =，求此圓直徑．

Answer 1

(1)見解析；(2)當(dāng)x=2時(shí)，y值最大，最大為1；(3)此圓直徑為5.

【解析】

試題分析：：（1）這兩個(gè)三角形中，已知的條件有∠A=∠B=90°，那么只要得出另外兩組對(duì)應(yīng)角相等即可得出兩三角形相似，因?yàn)椤螪EA+∠FEB=180-90=90°，而∠ADE+∠DEA=90°，因此∠ADE=∠FEB，同理可得出∠BFE=∠AED，那么就構(gòu)成了兩三角形相似的條件；

（2）可用x表示出BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)（1）中三角形ADE和FEB相似可得出關(guān)于AD，AE，BE，BF的比例關(guān)系式，然后就能得出一個(gè)關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出y的最大值及相應(yīng)的x的值．

(3)根據(jù)四點(diǎn)共圓，利用三角函數(shù)得出圓的直徑.

試題解析：(1)證明：∵∠DEF=90°,

∴∠AED+∠BEF=90°,∠AED +∠ADE=90°,

∴∠ADE =∠BEF ,

∵∠A =∠B,

∴△ADE∽△BEF ;

(2)∵△ADE∽△BEF,

∴AD：BE=AE：BF,

∵AE=x,BF =y,AD =4,

∴4：x=(4-x)：y,

∴y=-x2+x,

∴y=-(x-2)2+1,

∴當(dāng)x=2時(shí)，y值最大，最大為1；

∵D、C 、F、E四點(diǎn)共圓，

∴∠CEF=∠CDF，

∴sin∠CEF=sin∠CDF=，

∴DF=5，

即此圓直徑為5

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最大值.