【題目】如圖 1,A-2,0,B0,4, B 點(diǎn)為直角頂點(diǎn)在第二象限作等腰直角△ABC

1)求 C 點(diǎn)的坐標(biāo);

2)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn) P,使△PAB △ABC 全等?若存在,直接寫出 P 點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請說明理由;

3)如圖 2,點(diǎn) E y 軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn), E 為直角頂點(diǎn)作等腰直角△AEM, M MNx 軸于 N, OE-MN 的值.

【答案】1C-4,6);(2)存在一點(diǎn)P,使PABABC全等,符合條件的P的坐標(biāo)是(-6,2)或(2-2)或(4,2)或(-4,6);(32

【解析】

1))作CEy軸于E,證△CEB≌△BOA,推出CE=OB=4,BE=AO=2,即可得出答案;
2)分為四種情況,畫出符合條件的圖形,構(gòu)造直角三角形,證三角形全等,即可得出答案;
3)作MFy軸于F,證△EFM≌△AOE,求出EF,即可得出答案.

解:(1)作CEy軸于E,如圖1,


A-2,0),B0,4),
OA=2,OB=4
∵∠CBA=90°,
∴∠CEB=AOB=CBA=90°,
∴∠ECB+EBC=90°,∠CBE+ABO=90°
∴∠ECB=ABO,
在△CBE和△BAO

∴△CBE≌△BAO
CE=BO=4,BE=AO=2
OE=2+4=6,
C-4,6).
2)存在一點(diǎn)P,使△PAB與△ABC全等,


分為四種情況:①如圖2,當(dāng)PC重合時(shí),△PAB和△ABC全等,即此時(shí)P的坐標(biāo)是(-4,6);

②如圖3,過PPEx軸于E,
則∠PAB=AOB=PEA=90°
∴∠EPA+PAE=90°,∠PAE+BAO=90°,
∴∠EPA=BAO,
在△PEA和△AOB

∴△PEA≌△AOB,
PE=AO=2EA=BO=4,
OE=2+4=6,
P的坐標(biāo)是(-62);

③如圖4,過CCMx軸于M,過PPEx軸于E,
則∠CMA=PEA=90°,
∵△CBA≌△PBA,
∴∠PAB=CAB=45°,AC=AP,
∴∠CAP=90°,
∴∠MCA+CAM=90°,∠CAM+PAE=90°,
∴∠MCA=PAE,
在△CMA和△AEP

∴△CMA≌△AEP
PE=AM,CM=AE
C-4,6),A-20),
PE=4-2=2OE=AE-A0=6-2=4,
P的坐標(biāo)是(4,2);

④如圖5,過PPEx軸于E,
∵△CBA≌△PAB,
AB=AP,∠CBA=BAP=90°,
則∠AEP=AOB=90°
∴∠BAO+PAE=90°,∠PAE+APE=90°,
∴∠BAO=APE,
在△AOB和△PEA

∴△AOB≌△PEA
PE=AO=2,AE=OB=4,
0E=AE-AO=4-2=2
P的坐標(biāo)是(2,-2),
綜合上述:符合條件的P的坐標(biāo)是(-6,2)或(2,-2)或(4,2)或(-4,6).

3)如圖6,作MFy軸于F
則∠AEM=EFM=AOE=90°,
∵∠AEO+MEF=90°,∠MEF+EMF=90°,
∴∠AEO=EMF,
在△AOE和△EMF

∴△AEO≌△EMFAAS),
EF=AO=2,MF=OE,
MNx軸,MFy軸,
∴∠MFO=FON=MNO=90°,
∴四邊形FONM是矩形,
MN=OF,
OE-MN=OE-OF=EF=OA=2

故答案為:(1C-4,6);(2)存在一點(diǎn)P,使△PAB與△ABC全等,符合條件的P的坐標(biāo)是(-62)或(2,-2)或(4,2)或(-46);(32

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