【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點,與軸交于點拋物線的對稱軸是直線與軸的交點為點且經(jīng)過點兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點為拋物線對稱軸上一動點,當(dāng)的值最小時,請你求出點的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在點,過點作軸于點使得以點為頂點的三角形與相似?若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在;或或或
【解析】
(1)由直線可得B、C兩點的坐標(biāo),根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸求得A點坐標(biāo),可設(shè)拋物線的解析式為,將C點坐標(biāo)代入可求得a,即可得拋物線的解析式;
(2)根據(jù)絕對值的性質(zhì)得出的值最小時,點為BC的垂直平分線與直線的交點,求得BC垂直平分線的解析式,聯(lián)立直線即可求得點;
(3)分四種情況進行討論,設(shè)出N的坐標(biāo),根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì),求得N的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系,然后聯(lián)立拋物線解析式即可求解.
解:∵直線與軸交于點,與軸交于點,
∴當(dāng)y=0時,即,解得:x=4,則點B的坐標(biāo)為,
當(dāng)x=0時,,則點C的坐標(biāo)為,
由二次函數(shù)的對稱性可知:點與點關(guān)于直線對稱,
∴點A的坐標(biāo)為,
∵拋物線與軸的交點為點,
∴可設(shè)拋物線的解析式為,
又∵拋物線過點,
∴,解得:,
∴
∴拋物線的解析式為;
(2)如圖1,連結(jié)CM、BM,作線段BC的垂直平分線分別交BC、直線于點,則N為BC中點;
由絕對值的性質(zhì)可得:,
∴當(dāng)的值最小時,即,則此時,
∴點M為與直線的交點,此時與重合,
設(shè)的解析式為:,
∵直線BC的解析式為:,
∴,解得:,則的解析式可化為:,
由得點N的坐標(biāo)為,
將代入得:
,解得:,
∴,
將代入,得,即,
∴當(dāng)的值最小時,點的坐標(biāo)為,
(3)拋物線上存在點,使得以點為頂點的三角形與相似;
∵
∴,,,
∴,,
∵,
∴為直角三角形,,
∵軸,
∴,則,
如圖2所示,分四種情況,點的坐標(biāo)分別為,設(shè)點的坐標(biāo)為,
①當(dāng)點在x軸的上方,要使,則,
則此時點與點C重合,則此時點與點O重合,
則,滿足題意,
∴此時點的坐標(biāo)為;
②當(dāng)點在x軸的上方,要使,則,
∴,即,代入拋物線的解析式得:
,化簡得:,
解得:,(不符合題意,故舍去),
將代入拋物線解析式得:,
∴此時點的坐標(biāo)為;
③當(dāng)點在x軸的下方,要使,則,
∴,即,代入拋物線的解析式得:
,化簡得:,
解得:,(不符合題意,故舍去),
將代入拋物線解析式得:,
∴此時點的坐標(biāo)為;
④當(dāng)點在x軸的下方,要使,則,
∴,即,代入拋物線的解析式得:
,化簡得:,
解得:,(不符合題意,故舍去),
將代入拋物線解析式得:,
∴此時點的坐標(biāo)為;
綜上所述,拋物線存在點N的坐標(biāo)為或或或使得以點為頂點的三角形與相似.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2021年高考方案與高校招生政策都將有重大的變化,我市某部門為了了解政策的宣傳情況,對某初級中學(xué)學(xué)生進行了隨機抽樣調(diào)查,根據(jù)學(xué)生對政策的了解程度由高到低分為,,,四個等級,并對調(diào)查結(jié)果分析后繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息完成下列問題:
(1)求被調(diào)查學(xué)生的人數(shù),并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中的等對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);
(3)已知該校有1500名學(xué)生,估計該校學(xué)生對政策內(nèi)容了解程度為等的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=4,以AB為直徑的⊙O交BC于點D,交AC于點E,點P是AB的延長線上一點,且∠PDB=∠A,連接DE,OE.
(1)求證:PD是⊙O的切線.
(2)填空:①當(dāng)∠P的度數(shù)為______時,四邊形OBDE是菱形;
②當(dāng)∠BAC=45°時,△CDE的面積為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△DCB中,AB=DC,∠A=∠D,AC、DB交于點M.
(1)求證:△ABC≌△DCB;
(2)作CN∥BD,BN∥AC,CN交BN于點N,四邊形BNCM是什么四邊形?請證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點是雙曲線上的一個動點,連接并延長交雙曲線于點將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段若點在雙曲線上運動,則_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,EF,EB是⊙O的弦,且EF=EB,EF與AB交于點C,連接OF,若∠AOF=40°,則∠F的度數(shù)是( )
A.20°B.35°C.40°D.55°
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【題目】學(xué)校準(zhǔn)備在各班設(shè)立圖書角以豐富同學(xué)們的課余文化生活.為了更合理的搭配各類書籍,學(xué)校團委以“我最喜愛的書籍”為主題,對學(xué)生最喜愛的一種書籍類型進行隨機抽樣調(diào)查,收集整理數(shù)據(jù)后,繪制出以下兩幅未完成的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖①和圖②提供的信息,解答下列問題:
(1)在這次抽樣調(diào)查中,一共調(diào)查了_____________名學(xué)生;
(2)請把折線統(tǒng)計圖補充完整;
(3)在統(tǒng)計圖②中,求出“體育”部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(4)若該校有學(xué)生2400人,估計喜歡“科普”書籍的有多少人?
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E,F分別在邊AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延長線交BA的延長線于點G,CE的延長線交DA的延長線于點H,連接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)線段AC,AG,AH什么關(guān)系?請說明理由;
(3)設(shè)AE=m,
①△AGH的面積S有變化嗎?如果變化.請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;如果不變化,請求出定值.
②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值.
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