【題目】如圖,拋物線yx2+bx+c經(jīng)過A 0,3),B 43)兩點,與x軸交于點EF,以AB為邊作矩形ABCD,其中CD邊經(jīng)過拋物線的項點M,點P是拋物線上一動點(點P不與點AB重合),過點Py軸的平行線1與直線AB交于點G,與直線BD交于點H,連接AF交直線BD于點N

1)求該拋物線的解析式以及頂點M的坐標;

2)當線段PH2GH時,求點P的坐標;

3)在拋物線上是否存在點P,使得以點P,E,N,F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1yx24x+3,頂點M的坐標為(2,﹣1);(2)點P的坐標為(﹣18)或(3,0);(3)存在點P2,﹣1)時,使得以點P,E,N,F為頂點的四邊形是平行四邊形.

【解析】

1)根據(jù)拋物線yx2+bx+c經(jīng)過A03),B4,3)兩點,可以求得該拋物線的解析式,然后化為頂點式,即可得到頂點M的坐標;

2)根據(jù)題意,可以表示出線段PHGH的長,然后即可得到點P的坐標;

3)根據(jù)題意,畫出相應(yīng)的圖象,然后利用分類討論的方法即可得到點P的坐標.

解:(1)∵拋物線yx2+bx+c經(jīng)過A03),B4,3)兩點,

即該拋物線的解析式為yx24x+3,

yx24x+3=(x221

∴頂點M的坐標為(2,﹣1);

2)∵四邊形ABCD是矩形,且CD邊經(jīng)過拋物線的頂點M2,﹣1),

D0,﹣1),

設(shè)直線BD的解析式為ykx+b,

∵直線BD經(jīng)過點B4,3),D0,﹣1),

,

解得,,

∴直線BD的解析式為yx1

∵點P為是拋物線上一動點,

∴設(shè)Paa24a+3),則Ga,3),Ha,a1),

PH|a24a+3﹣(a1||a25a+4|,GH|3﹣(a1||4a|,

PH2GH

|a25a+4|2|4a|,

解得,a1=﹣1,a23a34,

P1(﹣18),P23,0),P34,3),

∵點P不與點A,B重合

P34,3)不符合要求,

∴當線段PH2GH時,點P的坐標為P(﹣1,8)或P3,0);

3)當y0時,0x24x+3,得x13,x21,

則點E的坐標為(1,0),點F的坐標為(30),

A0,3),F3,0),

∴直線AF的解析式為y=﹣x+3,

聯(lián)立,得 ,

N21),

如圖1所示,當點P在直線EF下方時,

M2,﹣1),N2,1),E10),F3,0),

MNEF互相垂直平分,

∴當點P在點M的位置時,四邊形PENF是平行四邊形,

此時P2,﹣1);

如圖2所示,當點P在點E的左側(cè)時,

若四邊形PEFN是平行四邊形,則P01),

∵拋物線經(jīng)過點A03),

P0,1)不符合實際,舍去;

如圖3所示,當點P在點F的右側(cè)時,

若四邊形PFEN是平行四邊形,則P4,1),

∵拋物線經(jīng)過點B4,3),

P41)不符合實際,舍去;

綜上所述,存在點P2,﹣1)時,使得以點PE,NF為頂點的四邊形是平行四邊形.

練習冊系列答案
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