Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，O是BC邊上的點(diǎn)且⊙O與AB、AC都相切，切點(diǎn)分別為D、E．

（1）求⊙O的半徑；

（2）如果F為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與D、E），過點(diǎn)F作⊙O的切線分別與邊AB、AC相交于G、H，連接OG、OH，有兩個(gè)結(jié)論：①四邊形BCHG的周長不變，②∠GOH的度數(shù)不變．已知這兩個(gè)結(jié)論只有一個(gè)正確，找出正確的結(jié)論并證明；

（3）探究：在（2）的條件下，設(shè)BG＝x，CH＝y，試問y與x之間滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系，寫出你的探究過程并確定自變量x的取值范圍，并說明當(dāng)x＝y時(shí)F點(diǎn)的位置．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）②的結(jié)論正確，證明詳見解析；（3）y＝， 2≤x≤4，F為AO與圓的交點(diǎn)同時(shí)F是的中點(diǎn)．

【解析】

（1）連接OD、OE、OA；構(gòu)造正方形和直角三角形，利用勾股定理和正方形的性質(zhì)解答；

（2）連接OF、OG、OH；根據(jù)切線長定理和圓的半徑相等，構(gòu)造全等三角形，即△DOG≌△FOG，△FOH≌△EOH；得到相等的角∠DOG＝∠FOG，∠FOH＝∠EOH；進(jìn)而得到∠GOH＝＝45°；

（3）當(dāng)x＝y時(shí)，有AG＝AH，根據(jù)平行線分線段成比例定理的逆定理，判定GH∥BC，根據(jù)切線性質(zhì)，判斷F為AO與圓的交點(diǎn)同時(shí)F是的中點(diǎn)．

（1）連接OD、OE、OA，

∵O是BC邊上的點(diǎn)且⊙O與AB、AC都相切，

∴OD⊥AB，AC⊥OE，

又∵∠BAC＝90°，且OD＝OE，

∴四邊形ADOE為正方形，

∴OE＝AE，`

∴∠OAE＝45°；

又∵∠C＝45°，

∴OE＝2，△OAC為等腰直角三角形，

AE＝EC＝AC＝×4＝2，即⊙O的半徑是2；

（2）②的結(jié)論正確；理由如下：

連接OF、OG、OH，

由題意，GD、GF以及HF、HE與圓相切，

所以GD＝GF，HE＝HF，∠DOG＝∠FOG，∠FOH＝∠HOE，

而∠DOE＝90°，所以可以得到∠GOH＝＝45°．

（3）BG＝x，CH＝y，

易得：GF＝GD＝x﹣2，FH＝HE＝y﹣2，AG＝4﹣x，AE＝4﹣y，

所以GH＝x+x﹣4，

由∠A＝90°，可得GH2＝AG2+AH2，代入上述各數(shù)值，

化簡可得y＝，由AG≥0，AE≥0，可得x≤4，y≤4，所以2≤x≤4，

當(dāng)x＝y時(shí)，有AG＝AH，由于AB＝AC所以可得GH與BC平行，連接AO，

設(shè)AO交GH于F'，有∠OFH＝90°，

所以F'為切點(diǎn)F，即F為AO與圓的交點(diǎn)同時(shí)F是的中點(diǎn)．