Question

【題目】在平面直角坐標系中，如果點的橫坐標和縱坐標相等，則稱點為和諧點，例如點，，，…都是和諧點，若二次函數(shù)的圖象上有且只有一個和諧點，當時，函數(shù)的最小值為，最大值為，則的取值范圍是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)和諧點的概念令ax2＋4x＋c＝x，即ax2＋3x＋c＝0，由題意，△＝324ac＝0，即4ac＝9，方程的根為＝，從而求得a＝1，c＝，所以函數(shù)y＝ax2＋4x＋c＝x2＋4x3，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點坐標與縱坐標的交點坐標，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．

令ax2＋4x＋c＝x，即ax2＋3x＋c＝0，

由題意，△＝324ac＝0，即4ac＝9，

又方程的根為＝，

解得a＝1，c＝．

故函數(shù)y＝ax2＋4x＋c34＝x2＋4x3，

如圖，該函數(shù)圖象頂點為（2，1），與y軸交點為（0，3），由對稱性，該函數(shù)圖象也經(jīng)過點（4，3）．

由于函數(shù)圖象在對稱軸x＝2左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，且當0≤x≤m時，函數(shù)y＝x2＋4x3的最小值為3，最大值為1，

∴2≤m≤4，

故答案為：2≤m≤4．