【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,O是坐標原點.點A在x軸的正半軸上,點A的坐標為(10,0).一條拋物線經(jīng)過O,A,B三點,直線AB的表達式為,且與拋物線的對稱軸交于點Q.
(1)求拋物線的表達式;
(2)如圖2,在A,B兩點之間的拋物線上有一動點P,連結AP,BP,設點P的橫坐標為m,△ABP的面積S,求出面積S取得最大值時點P的坐標;
(3)如圖3,將△OAB沿射線BA方向平移得到△DEF,在平移過程中,以A,D,Q為頂點的三角形能否成為等腰三角形?如果能,請直接寫出此時點E的坐標(點O除外);如果不能,請說明理由.
【答案】(1);(2)當S取得最大值16時,點P的坐標為(6,6);(3)以A,D,Q為頂點的三角形能成為等腰三角形,點E坐標為:E1(21,),E2(15,),E3(),E4(16,﹣3).
【解析】
(1)將點A的坐標(10,0).O(0,0)代入拋物線,解出b,c,再代回,即可得拋物線的解析式;
(2)先將直線與拋物線解析式聯(lián)立,解出點B坐標,再設出點P和點G坐標,用相關點的橫縱坐標表示線段長河高,從而可得面積的表達式,再從函數(shù)角度即可得解;
(3)利用勾股定理分別表示出AD2,AQ2,QD2,再分AD=AQ,AD=QD,AQ=QD,分別來求解,從而得點D坐標,再將其橫坐標加10,縱坐標不變即可得點E的坐標.
解:(1)∵拋物線經(jīng)過O,A,B三點,點A的坐標為(10,0).O(0,0),
∴
∴,
∴拋物線的表達式為:y=﹣x2+x.
(2)由得﹣x2+x=,
∴x=2或x=10,
∴點B(2,4).
如圖2,作PC⊥x軸于C點,交AB于點G,
∵動點P在拋物線上,直線AB的表達式為,
∴設P(m,﹣m2+m),G(m,),
∴PG=﹣m2+3m﹣5,
∴S=PG(xA﹣xG)+PG(xG﹣xB)=(﹣m2+3m﹣5)(10﹣2)=﹣m2+12m﹣20=﹣(m﹣6)2+16,
∴當m=6時,S最大=16,
∴P(6,6)
答:當S取得最大值時點P的坐標為(6,6).
(3)∵拋物線的對稱軸為x=5,點Q在直線上,
∴Q點坐標為(5,),D點在過O點且平行于AB的直線y=上,設D(a,),
∴AD2=(10﹣a)2+a2,AQ2=25+=,QD2=(a﹣5)2+
①當AD=AQ時,(10﹣a)2+a2=,解得a1=11,a2=5,
∴D1(11,),D2(5,﹣);
∴E1(21,),E2(15,-);
②當AD=QD時,(10﹣a)2+a2=(a﹣5)2+,解得a=,
∴D3(,),E3(,);
③當AQ=QD時,=(a﹣5)2+,解得a=6,
∴D4(6,﹣3),E4(16,﹣3)
綜上所述,以A,D,Q為頂點的三角形能成為等腰三角形,點E坐標為:E1(21,),E2(15,),E3(,),E4(16,﹣3).
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【題目】我市最近開通了“1號水路”觀光游覽專線,某中學數(shù)學活動小組帶上高度為1.6m的測角儀,對其標志性建筑AO進行測量高度的綜合實踐活動,如圖,在BC處測得直立于地面的AO頂點A的仰角為30°,然后前進20m至DE處,測得頂點A的仰角為75°.
(1)求AE的長(結果保留根號);
(2)求高度AO(精確到個位,參考數(shù)據(jù):)
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【題目】如圖,D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD2=CACB;
(2)求證:CD是⊙O的切線;
(3)過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E,若BC=12,tan∠CDA=,求BE的長.
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【題目】在推進嘉興市城鄉(xiāng)生活垃圾分類的行動中,某社區(qū)為了了解居民掌握垃圾分類知識的 情況進行調查.其中A、B 兩小區(qū)分別有 500 名居民參加了測試,社區(qū)從中各隨機 抽取50 名居民成績進行整理得到部分信息:
(信息一)A 小區(qū) 50 名居民成績的頻數(shù)直方圖如下(每一組含前一個邊界值,不含后一個邊界值):
(信息二)上圖中,從左往右第四組的成績?nèi)缦?/span>
(信息三)A、B 兩小區(qū)各 50 名居民成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率(80 分及以上為優(yōu)秀)、方差等數(shù)據(jù)如下(部分空缺):
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)求A 小區(qū) 50 名居民成績的中位數(shù).
(2)請估計A 小區(qū) 500 名居民成績能超過平均數(shù)的人數(shù).
(3)請盡量從多個角度,選擇合適的統(tǒng)計量分析 A,B 兩小區(qū)參加測試的居民掌握垃圾分類知識的情況.
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【題目】如圖,某景區(qū)的兩個景點A、B處于同一水平地面上、一架無人機在空中沿MN方向水平飛行進行航拍作業(yè),MN與AB在同一鉛直平面內(nèi),當無人機飛行至C處時、測得景點A的俯角為45°,景點B的俯角為30°,此時C到地面的距離CD為100米,則兩景點A、B間的距離為__米(結果保留根號).
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB:BC=3:5,點E是對角線BD上一動點(不與點B,D重合),將矩形沿過點E的直線MN折疊,使得點A,B的對應點G,F分別在直線AD與BC上,當△DEF為直角三角形時,CN:BN的值為______.
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【題目】二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標原點O和點A(7,0),直線AB交y軸于點B(0,﹣7),動點C(x,y)在直線AB上,且1<x<7,過點C作x軸的垂線交拋物線于點D,則CD的最值情況是( )
A.有最小值9B.有最大值9C.有最小值8D.有最大值8
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【題目】如圖,直線與軸,軸分別交于,兩點,邊長為2的正方形的邊,分別在軸,軸上,點在第一象限,正方形繞點逆時針旋轉,的對應邊恰好落在直線上,則的值為( )
A. B. C. 5D. 6
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【題目】在平面直角坐標系中,以C(x0,y0)為圓心半徑為r的圓的標準方程是(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=r2.例如,在平面直角坐標系中,⊙C的圓心C(2,3),點M(3,5)是圓上一點,如圖,過點C、點M分別作x軸、y軸的平行線,交于點H,在Rt△MCH中,由勾股定理可得:r2=MC2=CH2+MH2=1+4=5,則圓C的標準方程是(x﹣2)2+(y﹣3)2=5.那么以點(﹣3,4)為圓心,過點(﹣2,﹣1)的圓的標準方程是_____.
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