Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，6），點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)AP，并把AP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AD，連PD和BD．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)和直線AB的解析式．
（2）求證：OP=BD，并求出當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（2，0）時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于

3

2

？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F．依題意得BF=OE=3，利用勾股定理求出OF，然后可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，證明△ABD≌△AOP．OP=BD，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，延長EB交DH于G，則BG⊥DH，在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數(shù)求出BG=BDcos60°，DG=BDsin60°．然后求出OH，DH，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）本題分三種情況進(jìn)行討論，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）：
①當(dāng)P在x軸正半軸上時(shí)，即t＞0時(shí)，關(guān)鍵是求出D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根據(jù)BD即OP的長和∠DBG的正弦函數(shù)求出DG的表達(dá)式，即可求出DH的長，根據(jù)已知的△OPD的面積可列出一個(gè)關(guān)于t的方程，即可求出t的值．
②當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，但D在x軸上方時(shí)．即-2

3

＜t≤0時(shí)，方法同①類似，也是在直角三角形DBG用BD的長表示出DG，進(jìn)而求出GF的長，然后同①．
③當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，D在x軸下方時(shí)，即t≤-2

3

時(shí)，方法同②．
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，BF⊥x軸于F，由題意可知
BF=OE=3，OF=

42-22

=2

3

，
∴點(diǎn)B（3

3

，3），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，把A（0，6），B（3

3

，3）代入，得

b=6 3 3 k+b=3

，
解得

k=- 3 3 b=6

．
∴直線AB的解析式為y=-

3

3

x+6；

（2）如圖1，∵AP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AD，
∴AP=AD，∠DAP=∠BAO，
∴∠OAP=∠BAD，
在△AOP與△ABD中，

AP=AD ∠OAP=∠BAD AO=AB

，
∴△AOP≌△ABD（SAS），
∴OP=BD，
過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，延長EB交DH于G，則BG⊥DH，
在RT△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，
∴BG=

1

2

BD=

1

2

OP=1，DG=

3

BG=

3

，
∴OH=OF+FH=OF+BG=3

3

+1，DH=DG+OE=3+

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3

3

+1，3+

3

），

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于

3

2

，
①當(dāng)t＞0時(shí)，如圖1，∵BD=OP=t，DG=

3

2

t，
∴DH=3+

3

2

t，
∵△OPD的面積等于

3

2

，
∴

1

2

t（3+

3

2

t）=

3

2

，
解得t₁=-

3

+

5

，t₂=-

3

-

5

（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（-

3

+

5

，0）；
②當(dāng)-2

3

＜t≤0時(shí)，如圖2，∵BD=OP=-t，BG=-

3

2

t，
∴DH=GF=3-（-

3

2

t）=3+

3

2

t，
∵△OPD的面積等于

3

2

，∴-

1

2

t（3+

3

2

t）=

3

2

，
解得：t₃=-

3

+1，t₄=-

3

-1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

+1，0），（-

3

-1，0），
③當(dāng)t≤-2

3

時(shí)，如圖3，∵BD=OP=-t，DG=-

3

2

t，
∴DH=-

3

2

t-3，
∵△OPD的面積等于

3

2

，
∴-

1

2

t（-

3

2

t-3）=

3

2

，
解得：t₅=-

3

+

5

，（舍去），t₆=-

3

-

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

-

5

，0），
綜上，存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于

3

2

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（-

3

+

5

，0），P₂（-

3

+1，0），P₃（-

3

-1，0），P₄（-

3

-

5

，0）；

點(diǎn)評：本題綜合考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，包括待定系數(shù)法求解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形面積公式的應(yīng)用等，難度較大．