Question

已知：如圖（1），△AOB和△COD都是等邊三角形，連接AC、BD交于點P．
（1）求證：AC=BD；
（2）求∠APB的度數(shù)；
（3）如圖（2），將（1）中的△AOB和△COD改為等腰三角形，并且OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，則AC與BD的等量關(guān)系為

 

，∠APB的大小為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AO=OB，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°，求出∠AOC=∠BOD，證出△AOC≌△BOD即可；
（1）根據(jù)全等得出∠1=∠2，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（3）求出∠AOC=∠BOD，證出△AOC≌△BOD，推出AC=BD，∠OCA=∠ODB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可

解答：（1）證明：∵△AOB和△COD都是等邊三角形，
∴AO=OB，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOC=∠BOD=60°+∠BOC，
在△AOC和△BOD中，

AO=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；

（2）解：∵△ABO是等邊三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
∴∠1+∠3=60°，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠1=∠2，
∴∠APB=180°-（∠3+∠ABO+∠2）
=180°-（∠3+∠1+∠ABO）
=180°-（60°+60°）
=60°；

（3）解：AC=BD，∠APB=α，
理由是：∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOC=∠BOD=∠BOC+α，
在△AOC和△BOD中

AO=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OCA=∠ODB，
∴∠APB=180°-（∠PDC+∠PCO+∠OCD）
=180°-（∠PDC+∠BDO+∠OCD）
=180°-（∠ODC+∠OCD）
=∠DOC
=α，
故答案為：AC=BD，∠APB=α．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，證明過程類似．