Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，線(xiàn)段AM為BC邊上的中線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)D在直線(xiàn)AM上時(shí)，以CD為一邊在CD的下方作等邊三角形CDE，連接BE

（1）若點(diǎn)D在線(xiàn)段AM上時(shí)，求證:△ADC≌△BEC；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線(xiàn)AM上時(shí)，設(shè)直線(xiàn)BE與直線(xiàn)AM的交點(diǎn)為O，

①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AM的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求當(dāng)∠ACE為多少度時(shí)，點(diǎn)B、D、E在一條直線(xiàn)上；②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線(xiàn)AM上時(shí)，試判斷∠AOB是否為定值？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①150°；②是，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質(zhì)就可以∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②分情況討論，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AM上時(shí)，由①得：∠AOB=60°；當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AM的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，證明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD=30°即可得出答案；當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段MA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，證明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD，同理得出∠CAM=30°，求出∠CBE=∠CAD=150°，得出∠CBO=30°，即可得出答案．

證明：（1）如圖：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ADC和△BEC中， ，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：①如圖③

∵△ABC與△CDE是等邊三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD與△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE，

又∵線(xiàn)段AM為BC邊上的中線(xiàn)

∴根據(jù)等邊三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得，∠CBE=∠CAD=30°；

又∵點(diǎn)B、D、E在一條直線(xiàn)上且∠E=60°，

∴∠BCE=90°，

∴∠ACE=90°+60°=150°；

②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AM上時(shí)，如圖1所示：

由（1）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE=∠CAD=30°，
∵△ABC是等邊三角形，線(xiàn)段AM為BC邊上的中線(xiàn)
∴AM⊥BC，

∴∠BMO=90°，

∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；

當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AM的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2所示：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠CBE=∠CAD=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；

當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段MA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3所示：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE=∠CAD，

同理可得：∠CAM=30°

∴∠CBE=∠CAD=150°

∴∠CBO=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBO=90°-30°=60°；

綜上所述，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線(xiàn)AM上時(shí)，∠AOB是定值，∠AOB=60°．