Question

在平面直角坐標系中，直線y=2x+2分別與y軸，x軸交于點A，B兩點，在x軸正半軸上取一點C，使OC=OB，以AC為邊長在第一象限作正方形ACDE，頂點D恰好在反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象上，如圖所示．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）正方形ACDE的AE邊的中點是否在上述反比例函數y=

k

x

的圖象上？請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：綜合題

分析：（1）作DH⊥x軸于H，如圖，先求出B（-1，0），A（0，2），利用OC=OB得C點坐標為（1，0），再證明△ACO≌△CDH，得到OC=DH=1，CH=OA=2，則可確定D點坐標為（3，1），根據反比例函數圖象上點的坐標特征得k=3，所以反比例函數解析式為y=

3

x

；
（2）作EG⊥y軸于G，如圖，與（1）一樣，可證明△ACO≌△EAG，得到OC=AG=1，OA=GE=2，則E點坐標為（2，3），再利用線段中點坐標公式得到AE的中點P的坐標為（1，

5

2

），然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征可判斷點P不在反比例函數y=

3

x

的圖象上．

解答：解：（1）作DH⊥x軸于H，如圖，
當y=0時，2x+2=0，解得x=-1，則B（-1，0），
當x=0時，y=2x+2=2，則A（0，2），
∵OC=OB，
∴C點坐標為（1，0），
∵四邊形ACDE為正方形，
∴∠ACD=90°，AC=CD，
∴∠ACO+∠DCH=90°，
而∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠DCH，
在△ACO和△CDH中，

∠AOC=∠CHD ∠CAO=∠DCH AC=CD

，
∴△ACO≌△CDH（AAS），
∴OC=DH=1，CH=OA=2，
∴OH=OC+CH=1+2=3，
∴D點坐標為（3，1），
∵頂點D恰好在反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函數解析式為y=

3

x

；
（2）正方形ACDE的AE邊的中點不在上述反比例函數y=

k

x

的圖象上．理由如下：
作EG⊥y軸于G，如圖，
與（1）一樣，可證明△ACO≌△EAG，
∴OC=AG=1，OA=GE=2，
∴OG=OA+AG=2+1=3，
∴E點坐標為（2，3），
而A點坐標為（0，2），
設AE的中點P的坐標為（1，

5

2

），
∵1×

5

2

≠3，
∴點P不在反比例函數y=

3

x

的圖象上．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征和正方形的性質；會運用三角形全等的知識解決線段相等的問題；理解坐標與圖形性質．