Question

已知：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以CD為直徑作⊙O，⊙O與邊BC相交于點F，⊙O的切線DE與邊AB相交于點E，且AE=3EB．

（1）求證：△ADE∽△CDF；

（2）當CF：FB=1：2時，求⊙O與ABCD的面積之比．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；

（2）設(shè)CF=x，F(xiàn)B=2x，則BC=3x，設(shè)EB=y，則AE=3y，AB=4y，根據(jù)相似得出，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=，分別求出含參數(shù)y的⊙O面積和四邊形ABCD面積，即可求出答案．

試題解析：【解析】
（1）證明：∵CD是⊙O的直徑，∴∠DFC=90°.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，AD∥BC. ∴∠ADF=∠DFC=90°.

∵DE為⊙O的切線，∴DE⊥DC. ∴∠EDC=90°.

∴∠ADF=∠EDC=90°.∴∠ADE=∠CDF.

∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE.

（2）∵CF：FB=1：2，∴設(shè)CF=x，F(xiàn)B=2x，則BC=3x.

∵AE=3EB，∴設(shè)EB=y，則AE=3y，AB=4y.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y.

∵△ADE∽△CDF，∴，即.

∵x、y均為正數(shù)，∴x=2y. ∴BC=6y，CF=2y.

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，

由勾股定理得：，

∴⊙O的面積為，

四邊形ABCD的面積為.

∴⊙O與四邊形ABCD的面積之比為．

考點：1.圓周角定理；2. 平行四邊形的性質(zhì)；3.切線的性質(zhì)；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；5.勾股定理；6.消參的待定系數(shù)法應(yīng)用．