Question

如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠CBA＝30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CE＝CF；②線段EF的最小值為；③當(dāng)AD＝2時(shí)，EF與半圓相切；④若點(diǎn)F恰好落在BC上，則AD＝；⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過(guò)的面積是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

 

 

Answer 1

①③⑤.

【解析】

試題分析：①如圖，連接CD，

∵根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，CE＝CD，∴∠DCE＝∠ECD.

又∵DF⊥DE，∴.∴CD=CF. ∴CE＝CF. 結(jié)論①正確.

②∵由①知，EF＝2CD，∴當(dāng)線段EF最小時(shí)，線段CD也最小.

根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)CD⊥AD時(shí)線段CD最小.

∵AB是半圓O 的直徑，∴∠ACB＝90°.

∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝.

當(dāng)CD⊥AD時(shí)，，

∴線段EF的最小值為. 結(jié)論②錯(cuò)誤.

③如圖，連接CD，CO，

∵∠CAB＝90°，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°. ∴△AOB是等邊三角形，∴AO=4，∠OCA＝60°.

∴當(dāng)AD＝2時(shí)，CD⊥AD，∠OCD＝∠DOA＝30°.

∵根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，∠EOA＝∠DOA＝30°，∴∠ECO＝90°.

∴EF與半圓相切. 結(jié)論③正確.

④若點(diǎn)F恰好落在BC上，則點(diǎn)D，F(xiàn)重合于點(diǎn)B，AD=AB=8. 結(jié)論④錯(cuò)誤.

⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過(guò)的面積是△ABC面積的2倍，為. 結(jié)論⑤正確.

綜上所述，結(jié)論正確的是①③⑤.

考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)和軸對(duì)稱問(wèn)題；2. 軸對(duì)稱的性質(zhì)；3. 垂直線段的性質(zhì)；4.圓周角定理；5.含30度角直角三角形的性質(zhì)；6. 等邊三角形的性質(zhì)；7.切線的判定.