【題目】如圖,Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中,直角邊OA與x軸重合,∠OAB=90°,OA=4,AB=2,把Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置,一條拋物線正好經(jīng)過點(diǎn)O,C,A三點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M,分別過點(diǎn)P,點(diǎn)M作x軸的垂線,交x軸于E,F(xiàn)兩點(diǎn),問:四邊形PEFM的周長是否有最大值?如果有,請(qǐng)求出最值,并寫出解答過程;如果沒有,請(qǐng)說明理由.
(3)如果x軸上有一動(dòng)點(diǎn)H,在拋物線上是否存在點(diǎn)N,使O(原點(diǎn))、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形?若存在,求出N點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)、y=﹣x2+4x;(2)、10;(3)、N1(2+2,﹣4),N2(2﹣2,﹣4)
【解析】試題分析:(1)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出C的坐標(biāo)和A的坐標(biāo),又因?yàn)閽佄锞經(jīng)過原點(diǎn),故設(shè)y=ax2+bx把(2,4),(4,0)代入,求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式;(2)、四邊形PEFM的周長有最大值,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(a,﹣a2+4a)則由拋物線的對(duì)稱性知OE=AF,所以EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+(﹣a2+4a)]=﹣2(a﹣1)2+10,利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形PEFM的周長的最大值;(3)、在拋物線上存在點(diǎn)N,使O(原點(diǎn))、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以OC為一邊的平行四邊形,由(1)可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),過點(diǎn)C作x軸的平行線,與x軸沒有其它交點(diǎn),過y=﹣4作x軸的平行線,與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),這兩個(gè)交點(diǎn)為所求的N點(diǎn)坐標(biāo)所以有﹣x2+4x=﹣4,解方程即可求出交點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)、因?yàn)?/span>OA=4,AB=2,把△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,
可以確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4);由圖可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),
又因?yàn)閽佄锞經(jīng)過原點(diǎn),故設(shè)y=ax2+bx把(2,4),(4,0)代入,得,解得
所以拋物線的解析式為y=﹣x2+4x;
(2)、四邊形PEFM的周長有最大值,理由如下:
由題意,如圖所示,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(a,﹣a2+4a)則由拋物線的對(duì)稱性知OE=AF,
∴EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,
則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+(﹣a2+4a)]=﹣2(a﹣1)2+10,
∴當(dāng)a=1時(shí),矩形PEFM的周長有最大值,Lmax=10;
(3)、在拋物線上存在點(diǎn)N,使O(原點(diǎn))、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以OC為一邊的平行四邊形,理由如下:
∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4可知頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,4),
∴知道C點(diǎn)正好是頂點(diǎn)坐標(biāo),知道C點(diǎn)到x軸的距離為4個(gè)單位長度,
過點(diǎn)C作x軸的平行線,與x軸沒有其它交點(diǎn),過y=﹣4作x軸的平行線,與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),
這兩個(gè)交點(diǎn)為所求的N點(diǎn)坐標(biāo)所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+,x2=2﹣
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為N1(2+,﹣4),N2(2﹣,﹣4).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折疊,使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處.
(1)求證:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,書桌上的一種新型臺(tái)歷和一塊主板AB、一個(gè)架板AC和環(huán)扣(不計(jì)寬度,記為點(diǎn)A)組成,其側(cè)面示意圖為△ABC,測得AC⊥BC,AB=5cm,AC=4cm,現(xiàn)為了書寫記事方便,須調(diào)整臺(tái)歷的擺放,移動(dòng)點(diǎn)C至C′,當(dāng)∠C′=30°時(shí),求移動(dòng)的距離即CC′的長(或用計(jì)算器計(jì)算,結(jié)果取整數(shù),其中 =1.732, =4.583)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】去括號(hào)正確的是( )
A.﹣(2a+b﹣c)=2a+b﹣c
B.﹣2(a+b﹣4c)=﹣2a﹣2b+8c
C.﹣(﹣a﹣b+2c)=﹣a+b+2c
D.﹣(a﹣b﹣c)=﹣a+b﹣c
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】要使等式(x﹣y)2+M=(x+y)2成立,整式M應(yīng)是( 。
A. 2xy B. 4xy C. ﹣4xy D. ﹣2xy
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉行“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”演講比賽,學(xué)校對(duì)30名參賽選手的成績進(jìn)行了分組統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
分?jǐn)?shù)x(分) | 4≤x<5 | 5≤x<6 | 6≤x<7 | 7≤x<8 | 8≤x<9 | 9≤x<10 |
頻數(shù) | 2 | 6 | 8 | 5 | 5 | 4 |
由上可知,參賽選手分?jǐn)?shù)的中位數(shù)所在的分?jǐn)?shù)段為( 。
A. 5≤x<6B. 6≤x<7C. 7≤x<8D. 8≤x<9
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