Question

已知拋物線y=x²-2x-

5

4

與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

；
（2）在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，O，A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再另x=0求出x的值即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長，再分①OP和OA是對(duì)應(yīng)邊，②OP和OC是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OP的長，然后根據(jù)點(diǎn)P在y正半軸寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）令y=0，則x²-2x-

5

4

=0，
整理得，4x²-8x-5=0，
解得x₁=-

1

2

，x₂=

5

2

，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-

1

2

，0），
令x=0，則y=-

5

4

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-

5

4

）；
故答案為：（-

1

2

，0），（0，-

5

4

）；

（2）∵A（-

1

2

，0），C（0，-

5

4

），
∴OA=

1

2

，OC=

5

4

，
①OP和OA是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△POA∽△AOC，
∴

OP

OA

=

OA

OC

，
即

OP

1 2

=

1 2

5 4

，
解得OP=

1

5

，
∵點(diǎn)P在y軸的正半軸上，
∴P（0，

1

5

），
②OP和OC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△POA∽△COA，
∴

OP

OC

=

OA

OA

=1，
∴OP=OC=

5

4

，
∵點(diǎn)P在y軸的正半軸上，
∴P（0，

5

4

），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，

1

5

）或（0，

5

4

）時(shí)，以點(diǎn)P，O，A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求解方法，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）要分情況討論．