【題目】探究:如圖1和圖2,四邊形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,∠EAF=45°.
(1)①如圖1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使AB與AD重合,直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系 ;
②如圖2,若∠B、∠D都不是直角,但滿足∠B+∠D=180°,線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立,若成立,請(qǐng)寫出證明過程;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(2)拓展:如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2.點(diǎn)D、E均在邊BC邊上,且∠DAE=45°,若BD=1,求DE的長.
【答案】(1)①EF=BE+DF;②成立,理由詳見解析;(2)DE=.
【解析】
(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,求出∠EAF=∠GAF=45°,根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF,即可求出答案;
②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線,得出AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,求出C、D、G在一條直線上,根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF,即可求出答案;
(2)如圖3,同理作旋轉(zhuǎn)三角形,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°,BC=4,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,求出∠FAD=∠DAE=45°,證△FAD≌△EAD,根據(jù)全等得出DF=DE,設(shè)DE=x,則DF=x,BF=CE=3﹣x,根據(jù)勾股定理得出方程,求出x即可.
解:(1)∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使AB與AD重合,
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,
∵∠ADC=90°,
∴∠ADC+∠ADG=90°
∴F、D、G共線,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠DAG+∠DAF=45°,
即∠EAF=∠GAF=45°,
在△EAF和△GAF中,
∵,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=GF,
∵BE=DG,
∴EF=GF=DF+DG=BE+DF,
故答案為:EF=BE+DF;
②成立,
理由:如圖2,把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG,使AB和AD重合,
則AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,
∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠ADC+∠ADG=180°,
∴C、D、G在一條直線上,
與①同理得,∠EAF=∠GAF=45°,
在△EAF和△GAF中,
∵,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=GF,
∵BE=DG,
∴EF=GF=BE+DF;
(2)解:∵△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°,
由勾股定理得:BC==4,
如圖3,把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB,使AB和AC重合,連接DF,
則AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,
∵∠DAE=45°,
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°,
∴∠FAD=∠DAE=45°,
在△FAD和△EAD中,
∴△FAD≌△EAD(SAS),
∴DF=DE,
設(shè)DE=x,則DF=x,
∵BC=4,
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x,
∵∠FBA=45°,∠ABC=45°,
∴∠FBD=90°,
由勾股定理得:DF2=BF2+BD2,
x2=(3﹣x)2+12,
解得:x=,
即DE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=x與雙曲線y=(k>0)交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則下列結(jié)論:①k=6;②A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱;③關(guān)于x的不等式<0的解集為x<﹣3或0<x<3;④若雙曲線y=(k>0)上有一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為6,則△AOC的面積為8,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)( 。
A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把一塊含30°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在反比例函數(shù)y=-(x<0)的圖象上的點(diǎn)C處,另兩個(gè)頂點(diǎn)分別落在原點(diǎn)O和x軸的負(fù)半軸上的點(diǎn)A處,且∠CAO=30°,則AC邊與該函數(shù)圖象的另一交點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年3月24日,工信部發(fā)布《關(guān)于推動(dòng)加快發(fā)展的通知》,全力推進(jìn)網(wǎng)絡(luò)建設(shè)、應(yīng)用推廣、技術(shù)發(fā)展和安全保障.工信部提出,要培育新型消費(fèi)模式,加快用戶向遷移,推動(dòng)“醫(yī)療健康”創(chuàng)新發(fā)展,實(shí)施“工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)”512工程,促進(jìn)“車聯(lián)網(wǎng)”協(xié)同發(fā)展,構(gòu)建應(yīng)用生態(tài)系統(tǒng).現(xiàn)“網(wǎng)絡(luò)”已成為一個(gè)熱門詞匯,某校為了解九年級(jí)學(xué)生對(duì)“網(wǎng)絡(luò)”的了解程度,對(duì)九年級(jí)學(xué)生行了一次測試(一共10道題答對(duì)1道得1分,滿分10分),測試結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績整理分析,繪制出如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,扇形統(tǒng)計(jì)圖中 __;
(2)所調(diào)查學(xué)生成績的眾數(shù)是_ ____分,平均數(shù)是_ 分;
(3)若該校九年級(jí)學(xué)生有人,請(qǐng)估計(jì)得分不少于分的有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(﹣1,3),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(﹣4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點(diǎn),下列結(jié)論:①2a﹣b=0;②abc<0;③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0);④方程ax2+bx+c﹣3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;⑤當(dāng)﹣4<x<﹣1時(shí),則y2<y1.
其中正確的是( )
A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年是脫貧攻堅(jiān)最后一年,某鎮(zhèn)擬修一條連通貧困山區(qū)村的公路,現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì).若甲、乙合作,36天可以完成,需用600萬元;若甲單獨(dú)做20天后,剩下的由乙做,還需40天才能完成,這樣所需550萬元.
(1)求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天?
(2)求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少萬元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),D是的中點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作半圓O的切線,交ED的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:∠FCD=∠ADE;
(2)填空:
①當(dāng)∠FCD的度數(shù)為 時(shí),四邊形OADC是菱形;
②若AB=2,當(dāng)CF∥AB時(shí),DF的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,D是BC邊上一點(diǎn),且CD=3BD,連接AD,把△ACD沿AD翻折,得到△ADC',DC′與AB交于點(diǎn)E,連接BC′,則△BDC'的面積為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形ABCD,AB=6,BC=8,四邊形EFGH的頂點(diǎn)E、G在矩形的邊AD、BC上;頂點(diǎn)F、H在矩形的對(duì)角線BD上.
(1)如圖1,當(dāng)四邊形EFGH是平行四邊形時(shí),求證:△DEH≌△BGF.
(2)如圖2,當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí),求BF的長.
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