Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+1經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（1，1）兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）閱讀理解：

在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝k1x+b1（k1，b1為常數(shù)，且k1≠0），直線l2：y＝k2x+b2（k2，b2為常數(shù)，且k2≠0），若l1⊥l2，則k1k2＝﹣1．

解決問(wèn)題：

①若直線y＝2x﹣1與直線y＝mx+2互相垂直，則m的值是____；

②拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方（不與A，B重合），求點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）①-；②點(diǎn)P的坐標(biāo)（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)垂線間的關(guān)系，可得PA，PB的解析式，根據(jù)解方程組，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)垂直于x的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得MQ，根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得面積的最大值，根據(jù)三角形的底一定時(shí)面積與高成正比，可得三角形高的最大值

解：（1）將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，

解得，

拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+1；

（2）①由直線y＝2x﹣1與直線y＝mx+2互相垂直，得

2m＝﹣1，

即m＝﹣；

故答案為：﹣；

②AB的解析式為y＝x+，

當(dāng)PA⊥AB時(shí)，PA的解析式為y＝﹣2x﹣2，

聯(lián)立PA與拋物線，得，

解得（舍），，

即P（6，﹣14）；

當(dāng)PB⊥AB時(shí)，PB的解析式為y＝﹣2x+3，

聯(lián)立PB與拋物線，得，

解得（舍），

即P（4，﹣5），

綜上所述：△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)（6，﹣14）（4，﹣5）；

（3）如圖：

，

∵M（t，﹣t2+t+1），Q（t， t+），

∴MQ＝﹣t2+

S△MAB＝MQ|xB﹣xA|

＝（﹣t2+）×2

＝﹣t2+，

當(dāng)t＝0時(shí)，S取最大值，即M（0，1）．

由勾股定理，得

AB＝＝，

設(shè)M到AB的距離為h，由三角形的面積，得

h＝＝．

點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值是．