【題目】已知:如圖①,將的菱形沿對(duì)角線剪開,將沿射線方向平移,得到點(diǎn)為邊上一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),連接.
①求證:;
②探究的形狀;
如圖②,若菱形變?yōu)檎叫?/span>,將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),原題其他條件不變,中的①和②兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)直接寫出結(jié)論;若不成立,請(qǐng)寫出變化后的結(jié)論并證明.
【答案】(1)①證明見解析;②△是等邊三角形,理由見解析;(2)①∠=∠成立,理由見解析;②不成立,△是等腰直角三角形,理由見解析.
【解析】
(1)①先由菱形可知四邊相等,再由∠D=60°得等邊△ADC和等邊△ABC,則對(duì)角線AC與四邊都相等,利用ASA證明△ANB≌△AMC,得結(jié)論;
②根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出:△AMN是等邊三角形;
(2)①成立,根據(jù)正方形得45°角和射線AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,證明△ANB∽△AMC,得∠ANB=∠AMC;
②不成立,△AMN是等腰直角三角形,利用①中的△ANB∽△AMC,得比例式進(jìn)行變形后,再證明△NAM∽△BAD,則△AMN是等腰直角三角形.
(1)如圖1,①∵四邊形是菱形,
∴,
∵∠60°,
∴△ADC和△ABC是等邊三角形,
∴,∠BAC60°,
∵∠60°,
∴∠=∠,
由△ADC沿射線DC方向平移得到△BCE,可知∠CBE60°,
∵∠ABC60°,
∴∠ABN60°,
∴∠ABN∠ACB60°
∴△≌△,
∴∠=∠;
②如圖1,△是等邊三角形,理由是:
由△≌△,
∴AMAN,
∵∠60°,
∴△是等邊三角形;
(2)①如圖2,∠=∠成立,理由是:
在正方形ABCD中,
∴∠BAC∠DAC=∠BCA45°,
∵∠NAM45°,
∴∠=∠,
由平移得:∠EBC∠CAD45°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABN180°90°45°45°,
∴∠ABN∠ACM45°,
∴△∽△,
∴∠=∠;
②如圖2,不成立,
△是等腰直角三角形,理由是:
∵△∽△,
∴,
∴,
∵∠=∠=45°,
∴△∽△,
∴∠=∠=90°,
∴△是等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,5),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3),C點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,3),D點(diǎn)的坐 標(biāo)為(3,﹣1),小明發(fā)現(xiàn):線段AB與線段CD存在一種特殊關(guān)系,即其中一條線段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可以得到另一條線段,你認(rèn)為這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了方便學(xué)生在上下學(xué)期間安全過馬路,南岸區(qū)政府決定在南開(融僑)中學(xué)校門口修建人行天橋(如圖1),其平面圖如圖2所示,初三(8)班的學(xué)生小劉想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量天橋頂棚距地面的高度.天橋入口A點(diǎn)有一臺(tái)階AB=2m,其坡角為30°,在AB上方有兩段平層BC=DE=1.5m,且BC,DE與地面平行,BC,DE上方又緊接臺(tái)階CD,EF,其長(zhǎng)度相等且坡度均為i=4:3,頂棚距天橋距離FG=2m,且小劉從入口A點(diǎn)測(cè)得頂棚頂端G的仰角為37°,請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù),幫小劉計(jì)算出頂端G點(diǎn)距地面高度為( 。m.(結(jié)果保留一位小數(shù),參考數(shù)據(jù):≈1.73,sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈)
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,∠B=120°,AB與CD之間的距離是,AB=28,在AB上取一點(diǎn)E(AE<BE),使得∠DEC=120°,則AE=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,E為AB的中點(diǎn),且EC、ED分別為∠BCD、∠ADC的角平分線,EF⊥CD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接DG.
(1)求證:CE⊥DE;
(2)若AB=6,求CF·DF的值;
(3)當(dāng)△BCE與△DFG相似時(shí),的值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn),點(diǎn)M是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),延長(zhǎng)ME交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接MD,AN.
(1)求證:四邊形AMDN是平行四邊形.
(2)當(dāng)AM的值為何值時(shí),四邊形AMDN是矩形?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字1、2、3、4,將卡片背面朝上,洗勻后從中任意抽取1張,將卡片上的數(shù)字作為被減數(shù);一只不透明的袋子中裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3的3個(gè)小球,這些球除標(biāo)號(hào)外都相同,攪勻后從中任意摸出1個(gè)球,將摸到的球的標(biāo)號(hào)作為減數(shù).
(1)求這兩個(gè)數(shù)的差為0的概率;
(2)游戲規(guī)則規(guī)定:當(dāng)抽到的這兩個(gè)數(shù)的差為非負(fù)數(shù)時(shí),甲獲勝;否則,乙獲勝.這樣的規(guī)則公平嗎?如果不公平,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)公平的規(guī)則,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將半徑為4,圓心角為90°的扇形BAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E且點(diǎn)D剛好在上,則陰影部分的面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AE⊥BC于E,點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上,且CF=BE,連接AC,DF,
(1)求證:四邊形AEFD是矩形;
(2)若∠ACD=90°,CF=3,DF=4,求AD的長(zhǎng)度.
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