【題目】已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(0,2),且拋物線(xiàn)上任意不同兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)都滿(mǎn)足:當(dāng)x1<x2<0時(shí),(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;當(dāng)0<x1<x2時(shí),(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓與拋物線(xiàn)的另兩個(gè)交點(diǎn)為B,C,且BC的左側(cè),△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)若MN與直線(xiàn)y=﹣2x平行,且M,N位于直線(xiàn)BC的兩側(cè),y1>y2,解決以下問(wèn)題:

①求證:BC平分∠MBN;

②求△MBC外心的縱坐標(biāo)的取值范圍.

【答案】(1)y=﹣x2+2;(2)①證明見(jiàn)解析;②﹣<y0≤0.

【解析】

(1)由A的坐標(biāo)確定出c的值,根據(jù)已知不等式判斷出y1-y2<0,可得出拋物線(xiàn)的增減性,確定出拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為y軸,且開(kāi)口向下,求出b的值,如圖1所示,可得三角形ABC為等邊三角形,確定出B的坐標(biāo),代入拋物線(xiàn)解析式即可;

(2)①設(shè)出點(diǎn)M(x1,-x12+2),N(x2,-x22+2),由MN與已知直線(xiàn)平行,得到k值相同,表示出直線(xiàn)MN解析式,進(jìn)而表示出ME,BE,NF,BF,求出tan∠MBEtan∠NBF的值相等,進(jìn)而得到BC為角平分線(xiàn);

②三角形的外心即為三條垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn),得到y軸為BC的垂直平分線(xiàn),設(shè)P為外心,利用勾股定理化簡(jiǎn)PB2=PM2,確定出△MBC外心的縱坐標(biāo)的取值范圍即可.

(1)∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(0,2),

∴c=2,

當(dāng)x1<x2<0時(shí),x1-x2<0,由(x1-x2)(y1-y2)>0,得到y(tǒng)1-y2<0,

∴當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大,

同理當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小,

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸,且開(kāi)口向下,即b=0,

∵以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓與拋物線(xiàn)交于另兩點(diǎn)B,C,如圖1所示,

∴△ABC為等腰三角形,

∵△ABC中有一個(gè)角為60°,

∴△ABC為等邊三角形,且OC=OA=2,

設(shè)線(xiàn)段BC與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D,則有BD=CD,且∠OBD=30°,

∴BD=OBcos30°=,OD=OBsin30°=1,

∵B在C的左側(cè),

∴B的坐標(biāo)為(-,-1),

∵B點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,且c=2,b=0,

∴3a+2=-1,

解得:a=-1,

則拋物線(xiàn)解析式為y=-x2+2;

(2)①由(1)知,點(diǎn)M(x1,-x12+2),N(x2,-x22+2),

∵M(jìn)N與直線(xiàn)y=-2x平行,

∴設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為y=-2x+m,則有-x12+2=-2x1+m,即m=-x12+2x1+2,

∴直線(xiàn)MN解析式為y=-2x-x12+2x1+2,

把y=-2x-x12+2x1+2代入y=-x2+2,解得:x=x1或x=2-x1,

∴x2=2-x1,即y2=-(2-x12+2=-x12+4x1-10,

作ME⊥BC,NF⊥BC,垂足為E,F(xiàn),如圖2所示,

∵M(jìn),N位于直線(xiàn)BC的兩側(cè),且y1>y2,則y2<-1<y1≤2,且-<x1<x2

∴ME=y1-(-1)=-x12+3,BE=x1-(-)=x1+,NF=-1-y2=x12-4x1+9,BF=x2-(-)=3-x1

在Rt△BEM中,tan∠MBE=

在Rt△BFN中,tan∠NBF=

∵tan∠MBE=tan∠NBF,

∴∠MBE=∠NBF,

則BC平分∠MBN;

②∵y軸為BC的垂直平分線(xiàn),

∴設(shè)△MBC的外心為P(0,y0),則PB=PM,即PB2=PM2

根據(jù)勾股定理得:3+(y0+1)2=x12+(y0-y12,

∵x12=2-y1

∴y02+2y0+4=(2-y1)+(y0-y12,即y0=y1-1,

由①得:-1<y1≤2,

∴-<y0≤0,

則△MBC的外心的縱坐標(biāo)的取值范圍是-<y0≤0.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,ADBC,BD=2,延長(zhǎng)ADE,使AE=2AD,連接BE

1)求證:ABE為等邊三角形;

2)將一塊含60°角的直角三角板PMN如圖放置,其中點(diǎn)P與點(diǎn)E重合,且∠NEM=60°,邊NEAB交于點(diǎn)G,邊MEAC交于點(diǎn)F.求證:BG=AF;

3)在(2)的條件下,求四邊形AGEF的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,兩張等寬的紙條交叉疊放在一起,若重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD中,AB=3,AC=2,則BD的長(zhǎng)為________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】求證:相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)之比等于相似比.

要求:①根據(jù)給出的△ABC及線(xiàn)段A'B′,A′(A′=A),以線(xiàn)段A′B′為一邊,在給出的圖形上用尺規(guī)作出△A'B′C′,使得△A'B′C′∽△ABC,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡;

②在已有的圖形上畫(huà)出一組對(duì)應(yīng)中線(xiàn),并據(jù)此寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn),且∠MPN∠AOB互補(bǔ),若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn),則以下結(jié)論:(1PM=PN恒成立;(2OM+ON的值不變;(3)四邊形PMON的面積不變;(4MN的長(zhǎng)不變,其中正確的個(gè)數(shù)為( 。

A. 4B. 3C. 2D. 1

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某商場(chǎng)銷(xiāo)售一種學(xué)生用計(jì)算器,進(jìn)價(jià)為每臺(tái)20元,售價(jià)為每臺(tái)30元時(shí),每周可賣(mài)160臺(tái),如果每臺(tái)售價(jià)每上漲2元,每周就會(huì)少賣(mài)20臺(tái),但廠(chǎng)家規(guī)定最高每臺(tái)售價(jià)不能超過(guò)33元,當(dāng)計(jì)算器定價(jià)為多少元時(shí),商場(chǎng)每周的利潤(rùn)恰好為1680元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】魔術(shù)師把四張撲克牌放在桌子上,如圖所示,然后蒙住眼睛,請(qǐng)一位觀(guān)眾上臺(tái)把其中的一張?zhí)幣菩D(zhuǎn)180°放好,魔術(shù)師解開(kāi)蒙著的眼睛的布后,看到四張牌如圖23-2-8所示,他很快確定了被旋轉(zhuǎn)的那一張牌,聰明的同學(xué)們,你知道哪一張牌被觀(guān)眾旋轉(zhuǎn)過(guò)嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示,,,B,E,C在一條直線(xiàn)上下列結(jié)論:的平分線(xiàn);;線(xiàn)段DE的中線(xiàn);其中正確的有 ()個(gè).

A.2B.3C.4D.5

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,D為O上一點(diǎn),點(diǎn)C在直線(xiàn)BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且CDA=CBD.

1求證:CD是O的切線(xiàn);

2若BC=8cm,tanCDA=,求O的半徑;

32條件下,過(guò)點(diǎn)B作O的切線(xiàn)交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接OE,求四邊形OEDA的面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案